Vom Teilen

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Inhalt

Einführung
Teilen mit Rest
Teilbarkeit
Komplementärteiler
Teilermenge
Primzahlen
Primfaktorzerlegung
Größter gemeinsamer Teiler
Teilerfremde Zahlen
Kleinstes gemeinsames Vielfaches
Aufgaben

 Einführung

Das Teilen (das Dividieren, die Division) ist im normalen Rechnen ein alltäglicher Vorgang.

Angenommen, wir möchten 3 Pizzen gerecht an zwei Personen verteilen. Dann rechnen wir:

$$ 3 : 2 = 1,5 $$

Jeder von beiden bekommt eine ganze Pizza. Die letzte Pizza schneiden wir mitten durch, sodass jeder noch eine halbe Pizza dazu bekommt.

Dieser Vorgang und seine Berechnung sind uns allen geläufig.

 Teilen mit Rest

Durch die ständige Verwendung von Hilfsmitteln wie Taschenrechnern sind wir mit Kommazahlen, wie 1,5 so vertraut, dass wir schnell vergessen, dass wir nicht alles wie eine Pizza mitten hindurch schneiden können. Angenommen, wir möchten 5 (teure) Fahrräder gleichmäßig auf zwei Schaufenster verteilen. Wir rechnen (wie gewohnt):

$$ 5:2=2,5 $$

Nun wäre es allerdings ziemlich bescheuert, eines der Fahrräder zu halbieren (und damit zu zerstören), nur um die Schaufenster gleichmäßig zu bestücken.

Fahrräder sind im Gegensatz zu Pizzen nicht teilbar. Wir müssen also so rechnen, dass wir ein ganzzahliges Ergebnis erhalten:

$$ 5:2=2~Rest~1 $$

Ein weiteres Beispiel mit anderen Zahlen:

$$ \begin{array}{} 6:3&=&2\\ 7:3&=&2~Rest~1\\ 8:3&=&2~Rest~2\\ 9:3&=&3\\ 10:3&=&3~Rest~1\\ 11:3&=&3~Rest~2\\ 12:3&=&4 \end{array} $$

Anmerkung: Den Rest 0 habe ich im obigen Beispiel nicht angegeben. Wir hätten natürlich auch „Rest 0“ schreiben können.

Wichtig:
Bleibt beim Teilen ein nicht gerecht verteilbarer Rest zurück, sagen wir die Division geht nicht auf.
Bleibt kein Rest zurück (Rest = 0), sagen wir die Division geht auf.

Das Teilen mit Rest macht natürlich nur Sinn, wenn wir uns beim Rechnen im ganzzahligen Bereich bewegen.

Machen Sie sich klar: Bei Kommazahlen greifen wir zum Messer und zerschneiden den Rest, sodass wir ihn auch noch verteilen können!

  Teilbarkeit

Eine natürliche Zahl ist durch eine andere natürliche Zahl teilbar, wenn die Division aufgeht. Im folgenden ein paar einfache Regeln, an denen wir erkennen können, ob eine Division aufgeht.

Beispiele:

12 ist durch 4 teilbar, denn

$$ 12 : 4 = 3 $$

12 ist aber nicht durch 5 teilbar, denn

$$ 12 : 5 = 2~Rest~2 $$

14 ist durch 7 teilbar, denn

$$ 14 : 7 = 2 $$

14 ist nicht durch 3 teilbar, denn

$$ 14 : 3 = 4~Rest~2 $$

  Komplementärteiler

Was Komplementärteiler sind, läßt sich an einem Beispiel zeigen:

$$24 : 4 = 6$$

Die 24 ist durch 4 teilbar.

Weil das Ergebnis von 24 durch 4 aber 6 ist, ist die 24 auch durch 6 teilbar:

$$24 : 6 = 4$$

Die 4 und die 6 sind beim Teilen der 24 sozusagen Partner oder anders gesagt:

Komplementärteiler

.

  Teilermenge

Die Teilermenge einer ganzen Zahl ist die Menge aller ganzen Zahlen, durch die diese Zahl teilbar ist.

Durch welche Zahlen ist die 18 teilbar?

Die 18 ist durch 1 teilbar, weil jede Zahl durch 1 teilbar ist. Das liegt daran, weil die 1 beim Dividieren neutral ist.

Mit jedem Teiler finden wir auch den entsprechenden Komplementärteiler. $18:1=18$ Wir können also eine vorläufige (unvollständige) Teilermenge von 18 aufstellen:

$$T(18)=\lbrace 1;...;18 \rbrace$$

Die 18 ist auch durch 2 und somit ($18:2=9$) auch durch 9 teilbar.

$$T(18)=\lbrace 1;2;...;9;18 \rbrace$$

Auch die 3 und ($18:3=6$) die 6 gehören in die Teilermenge.

$$T(18)=\lbrace 1;2;3;...;6;9;18 \rbrace$$

Die 4 und die 5 sind keine Teiler der 18. Die nächste natürliche Zahl ist die 6. Aber die haben wir schon berücksichtigt. Die Zahlen 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 und 17 brauchen wir gar nicht mehr zu prüfen, weil die entsprechenden kleineren Komplementärteiler längst hätten auftauchen müssen. Da das nicht der Fall ist, können wir sicher sein, dass die Teilermenge komplett ist:

$$T(18)=\lbrace 1;2;3;6;9;18 \rbrace$$

  Primzahlen

Schauen wir uns die Teilermengen der ersten zwanzig natürlichen Zahlen an:

$$ \begin{array}{lllllll} T(1)&=&\lbrace1\rbrace&~~~~&T(11)&=&\lbrace1;11\rbrace\\ T(2)&=&\lbrace1;2\rbrace&~~~~&T(12)&=&\lbrace1;2;3;4;6;12\rbrace\\ T(3)&=&\lbrace1;3\rbrace&~~~~&T(13)&=&\lbrace1;13\rbrace\\ T(4)&=&\lbrace1;2;4\rbrace&~~~~&T(14)&=&\lbrace1;2;7;14\rbrace\\ T(5)&=&\lbrace1;5\rbrace&~~~~&T(15)&=&\lbrace1;3;5;15\rbrace\\ T(6)&=&\lbrace1;2;3;6\rbrace&~~~~&T(16)&=&\lbrace1;2;4;8;16\rbrace\\ T(7)&=&\lbrace1;7\rbrace&~~~~&T(17)&=&\lbrace1;17\rbrace\\ T(8)&=&\lbrace1;2;4;8\rbrace&~~~~&T(18)&=&\lbrace1;2;3;6;9;18\rbrace\\ T(9)&=&\lbrace1;3;9\rbrace&~~~~&T(19)&=&\lbrace1;19\rbrace\\ T(10)&=&\lbrace1;2;5;10\rbrace&~~~~&T(20)&=&\lbrace1;2;4;5;10;20\rbrace\\ \end{array} $$ Wenn wir die Elemente zählen, die sich in der Teilermenge befinden, stellen wir fest, dass es immer wieder natürliche Zahlen gibt, die genau zwei Teiler haben:

Die eins und als Komplementärteiler sich selbst.

Definition:

Eine ganze Zahl, die genau zwei Teiler hat, ist eine Primzahl.

Wichtig! Die kleinste Primzahl ist nicht die 1 (sie hat nur einen Teiler), sondern die 2.

  Primfaktorzerlegung

Eine wichtige mathematische Erkenntnis (Hauptsatz der Zahlentheorie) lautet:

„Jede natürliche Zahl, die größer ist als eins und selbst keine Primzahl ist, kann als Produkt von Primzahlen dargestellt werden.“

Probieren wir das mit der 42 aus. Wir teilen die 42 so lange durch die kleinste Primzahl, wie es möglich ist. Dann teilen wir das Ergebnis so oft wie möglich durch die nächst größere Primzahl. Das machen wir so oft, bis nur noch ein Produkt aus Primzahlen übrig bleibt:

$$\begin{array}{r|r} 42&2\\ 21&3\\ 7&7\\ 1&~\\ \end{array}$$ $$ \begin{array}{rcl} 42&=&2 \cdot 3 \cdot 7\\ \end{array} $$

Die Zahlen 2, 3 und 7 sind Primzahlen und können nicht mehr weiter zerlegt werden.

Weitere Beispiele:

$$\begin{array}{r|r} 252&2\\ 126&2\\ 63&3\\ 21&3\\ 7&7\\ 1&~\\ \end{array} $$ $$ \begin{array}{rcrcrcrcrcr} 252&=&2&\cdot&2&\cdot&3&\cdot&3&\cdot&7\\ \end{array} $$

und

$$\begin{array}{r|r} 90&2\\ 45&3\\ 15&3\\ 5&5\\ 1&~\\ \end{array}$$ $$ \begin{array}{rcrcrcrcr} 90&=&2&\cdot&3&\cdot&3&\cdot&5\\ \end{array} $$

  Größter gemeinsamer Teiler

Den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen finden wir, indem wir die Teilermengen vergleichen.

Beispiel:

Wir suchen den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 252 und 90.

$T(252)=\{1;2;3;4;6;7;9;12;14;\color{blue}{18};21;28;36;42;63;84;126;252\}$

$T(90)=\{1;2;3;5;6;9;10;15;\color{blue}{18};30;45;90\}$

Der größte gemeinsame Teiler von 252 und 90 ist die 18. In mathematischer Schreibweise ausgedrückt:

$$ggT(252;90)=18$$

Dieses Verfahren ist etwas mühsam, da wir für $T(252)$ und $T(90)$ insgesamt 30 Teiler ($18 + 12$) bestimmen mussten.

Über die Primfaktorzerlegung geht es einfacher:

Wir multiplizieren alle Primfaktoren der ersten Zahl, wenn sie auch Primfaktoren der zweiten Zahl sind (blau):

$$ \begin{array}{r|rcr|r} 252&\color{blue}2&~~&90&\color{blue}2\\ 126&2&~~&45&\color{blue}3\\ 63&\color{blue}3&~~&15&\color{blue}3\\ 21&\color{blue}3&~~&5&5\\ 7&7&~~&1&~\\ 1&~&~~&~&~\\ \end{array} $$

Gemeinsame Primfaktoren: Einmal 2 und zweimal 3. Wir rechnen:

$$ \begin{array}{rcrcrcrcrcr} 2&\cdot&3&\cdot&3&=&18 \end{array} $$

Gibt es keine gemeinsamen Primfaktoren, so ist der größte gemeinsame Teiler gleich eins.

Noch einfacher geht es mit dem Verahren von Euklid:

$$ \begin{array}{rrrrrrr} 252&:&\color{red}{90}&=&2&Rest&\color{green}{72}\\ \color{red}{90}&:&\color{green}{72}&=&1&Rest&\color{blue}{18}\\ \color{green}{72}&:&\color{blue}{18}&=&4&Rest&0\\ \end{array} $$

Erste Zeile: Wir teilen die größere der beiden Zahlen durch die kleinere.

Zweite Zeile: Wir teilen den Teiler aus der vorherigen Zeile durch den Rest der vorherigen Zeile.

Weitere Zeilen: Das wiederholen wir so lange, bis der Rest null ergibt.

Der letzte Rest, der nicht null war ist der größte gemeinsame Teiler.

  Teilerfremde Zahlen

Ist der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen die 1, so nennen wir diese Zahlen teilerfremd.

Beispiel:

Die Zahlen 15 und 14 sind teilerfremd, denn

$$ggT(15;14)=1$$

wie der Vergleich der Teilermengen zeigt:

$$\begin{array}{rrr} T_{15}&=&\{\color{blue}1;3;5;15\}\\ T_{14}&=&\{\color{blue}1;2;7;14\}\\ \end{array}$$

oder die Primfaktorzerlegung:

$$ \begin{array}{r|rcr|r} 15&3&~~&14&2\\ 5&5&~~&7&7\\ 1&~&~~&1&~\\ \end{array} $$

oder das Verfahren von Euklid:

$$ \begin{array}{rrrrrrr} 15&:&\color{red}{14}&=&1&Rest&\color{blue}{1}\\ \color{red}{14}&:&\color{blue}{1}&=&14&Rest&0\\ \end{array} $$

  Kleinstes gemeinsames Vielfaches

Anstelle von Teilermengen, können wir auch die Menge der Vielfachen einer natürlichen Zahl bilden.

$$ \begin{array}{lll} V_{30}&=&\{30;60;90;120;150;\color{blue}{180};210;...\}&\\ \end{array} $$

immer 30 addieren.

$$ \begin{array}{lll} V_{36}&=&\{36;72;108;144;\color{blue}{180};216;...\}&\\ \end{array} $$

immer 36 addieren.

Wie wir sehen enthält die Menge der Vielfachen im Gegensatz zur Teilermenge unendlich viele Elemente.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 36 und 30 ist die 180. Mathematisch ausgedrückt:

$$kgV(36;30)=180$$

Berechnung über die Primfaktorzerlegung:

Wir multiplizieren alle Primfaktoren der ersten Zahl mit allen Primfaktoren der zweiten Zahl. Von den doppelt vorkommenden Primfaktoren (rot) nehmen wir jeweils nur einen.

$$ \begin{array}{r|rcr|r} 36&2&~~&30&\color{red}2\\ 18&2&~~&15&\color{red}3\\ 9&3&~~&5&5\\ 3&3&~~&1&~\\ 1&~&~~&1&~\\ \end{array} $$ $$ 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 180 $$

Wir können das kleinste gemeinsame Vielfache auch recht einfach nach folgender Formel berechnen:

$$kgV(a;b)=\frac{a \cdot b}{ggT(a;b)}$$

Beispiel:

$$kgV(36;30)=\frac{36 \cdot 30}{ggT(36;30)}$$ $$kgV(36;30)=\frac{1080}{6}$$ $$kgV(36;30)=180$$

  Aufgaben

PDF-Übung: Teilermengen 1 bis 100

PDF-Übung: ggT und kgV Berechnung