Quadratische Gleichungen

Was sind rein quadratische Gleichungen?

Rein quadratische Gleichungen sind Gleichungen, in denen die Unbekannte ausschließlich im Quadrat vorkommt.

Beispiel für eine rein quadratische Gleichung:

$$ 2x^2+2 = 100 $$

Keine rein quadratische Gleichung ist dagegen $x^2-10x+16=0$, denn hier kommt die Unbekannte $x$ sowohl im Quadrat als auch ohne Quadrat vor. So etwas bezeichnen wir als gemischt quadratische Gleichung.

Lösen rein quadratischer Gleichungen

Eine rein quadratische Gleichung lösen wir, indem wir durch Umformung dafür sorgen, dass auf einer Seite nur noch $x^2$ und auf der anderen Seite nur noch eine Zahl steht. Dann ziehen wir die Quadratwurzel und die Gleichung ist gelöst.

Beispiel:

$$ \begin{array}{lcrl} 2x^2+2 &=& 100&|-2\\ 2x^2 &=& 98&|:2\\ x^2 &=& 49&|\sqrt{~}\\ x&=&\pm 7 \end{array} $$

Muss am Ende die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl gezogen werden, so hat diese Gleichung keine reelle Lösung.

Was sind gemischt quadratische Gleichungen?

Die Gleichung: $$x^2-10x+80=0$$ ist eine gemischt quadratische Gleichung, denn hier kommt die Unbekannte $x$ sowohl im Quadrat als auch einfach vor.

Lösen gemischt quadratischer Gleichungen

Eine gemischt quadratische Gleichung kann zwei reelle Lösungen, eine reelle Lösung oder keine reelle Lösung haben.

Lösung mit Hilfe der quadratischen Ergänzung

Erstes Beispiel

Die Gleichung:

$$x^2-10x+16=0$$

ist nicht binomisch, weil

$$ \begin{array}{lcr} \left(\frac{-10}{2}\right)^2 &=& 25\\ \end{array} $$

und

$$ \begin{array}{lcr} 25&\not = & 16\\ \end{array} $$

ist.

Wir machen einen Teil der Gleichung binomisch (rot), indem wir auf beiden Seiten $25$ addieren (Quadratische Ergänzung):

$$ \begin{array}{lcrl} x^2-10x+16&=&0&|+25\\ \color{red}{x^2-10x+25}+16&=&25&|-16\\ \color{red}{x^2-10x+25}&=&9&~\\ \color{red}{(x-5)^2}&=&9&|\sqrt{~}\\ x-5&=&\pm 3&|+5\\ x_{1;2}&=&\pm 3 +5&\\ x_{1}&=& 3 +5&\\ x_{1}&=& 8&\\ x_{2}&=& -3 +5&\\ x_{2}&=& 2&\\ \end{array} $$

Diese Gleichung hat zwei reelle Lösungen: Acht und zwei.

Zweites Beispiel

Die Gleichung:

$$ x^2-10x+25=0 $$

ist binomisch.

$$ \begin{array}{lcrl} \color{red}{x^2-10x+25}&=&0&~\\ \color{red}{(x-5)^2}&=&0&|\sqrt{~}\\ x-5&=&0&|+5\\ x&=&5&\\ \end{array} $$

Diese Gleichung hat eine reelle Lösung: Fünf.

Drittes Beispiel

Die Gleichung:

$$ x^2-10x+30=0 $$

ist nicht binomisch.

Wie im ersten Beispiel machen einen Teil der Gleichung binomisch (rot), indem wir auf beiden Seiten $25$ addieren (Quadratische Ergänzung):

$$ \begin{array}{lcrl} x^2-10x+30&=&0&|+25\\ \color{red}{x^2-10x+25}+30&=&25&|-30\\ \color{red}{x^2-10x+25}&=&-5&~\\ \color{red}{(x-5)^2}&=&-5&|\sqrt{~}\\ \end{array} $$

Wir brechen die Rechnung vorzeitig ab, weil wir auf der rechten Gleichungsseite die Quadratwurzel aus $-5$ ziehen müssten, was mit reellen Zahlen nicht möglich ist.

Diese Gleichung hat keine reelle Lösung.

Lösung mit Hilfe der pq-Formel

Die pq-Formel finden wir in vielen Formelsammlungen. Sie lautet: $$ x^2\color{red}{+p}x\color{blue}{+q}=0 $$ $$ x_{1;2}=-\frac{\color{red}p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\color{red}p}{2}\right)^2-\color{blue}q} $$

Wir werden nun die obigen Beispiele mit Hilfe der pq-Formel lösen.

Beispiel 1:

$$ \begin{array}{rcc} x^2\color{red}{-10}x\color{blue}{+16}=0&&\\ x_{1;2}&=&-\frac{\color{red}{-10}}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\color{red}{-10}}{2}\right)^2-\color{blue}{16}}\\ x_{1;2}&=&5\pm\sqrt{25-16}\\ x_{1;2}&=&5\pm\sqrt{9}\\ x_{1;2}&=&5\pm3\\ x_{1}&=&8\\ x_{2}&=&2\\ \end{array} $$

Zwei Lösungen.

Beispiel 2:

$$ \begin{array}{rcc} x^2\color{red}{-10}x\color{blue}{+25}=0&&\\ x_{1;2}&=&-\frac{\color{red}{-10}}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\color{red}{-10}}{2}\right)^2-\color{blue}{25}}\\ x_{1;2}&=&5\pm\sqrt{25-25}\\ x_{1;2}&=&5\pm\sqrt{0}\\ x_{1;2}&=&5\pm0\\ x_{1}&=&5\\ x_{2}&=&5\\ \end{array} $$

Eine Lösung.

Beispiel 3:

$$ \begin{array}{rcc} x^2\color{red}{-10}x\color{blue}{+30}=0&&\\ x_{1;2}&=&-\frac{\color{red}{-10}}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\color{red}{-10}}{2}\right)^2-\color{blue}{30}}\\ x_{1;2}&=&5\pm\sqrt{25-30}\\ x_{1;2}&=&5\pm\sqrt{-5}\\ \end{array} $$

Keine reelle Lösung.

Wir kommen mit der pq-Formel zu den gleichen Ergebnissen wie mit der Methode der quadratischen Ergänzung. Welche Methode als einfacher empfunden wird, ist sicherlich individuell verschieden. Die pq-Formel sieht zunächst kompliziert aus, ist aber stets gleich und kann in den meisten Formelsammlungen nachgeschlagen werden. Beim Umgang mit den Vorzeichen ist allerdings besondere Sorgfalt nötig.

Wenn die Gleichung keine nackte Lehrbuchaufgabe, sondern Teil einer größeren Berechnung ist, kann es sein, dass sie vor der Verwendung der pq-Formel zunächst umgeformt werden muss, um gelöst zu werden.

Angenommen, wir möchten die folgenden Gleichungen mit Hilfe der pq-Formel lösen:

$$ \begin{array}{rcl} -2x^2+12x&=&-14\\ 5x^2-35&=&30x\\ \end{array} $$

Erstes Beispiel:

Problem: Die Gleichung ist nicht richtig geordnet und vor dem $x^2$ steht der Faktor $-2$.

$$ \begin{array}{rcll} -2x^2+12x&=&-14&|+14\\ -2x^2+12x+14&=&0&|:(-2)\\ x^2-6x-7&=&0&~\\ \end{array} $$

Nun kommt die pq-Formel zum Einsatz:

$$ \begin{array}{rcl} x^2-6x-7&=& 0\\ x_{1;2} & = & - \frac{-6}{2}\pm \sqrt {\left( \frac{-6}{2} \right )^2 - (-7)}\\ x_{1;2} & = &3\pm \sqrt {9+7}\\ x_{1;2} & = &3\pm \sqrt {16}\\ x_{1;2} & = &3\pm 4\\ x_{1} & = &7\\ x_{2} & =&-1\\ \end{array} $$

Zweites Beispiel:

Problem: Die Gleichung ist nicht richtig geordnet und vor dem $x^2$ steht der Faktor $5$.

$$ \begin{array}{rcll} 5x^2-35&=&30x&|-30x\\ 5x^2-30x-35&=&0&|:5\\ x^2-6x-7&=& 0\\ \end{array} $$

Jetzt können wir wieder zur pq-Formel greifen:

$$ \begin{array}{rcl} x^2-6x-7&=& 0\\ x_{1;2} & = & - \frac{-6}{2}\pm \sqrt {\left( \frac{-6}{2} \right )^2 - (-7)}\\ x_{1;2} & = &3\pm \sqrt {9+7}\\ x_{1;2} & = &3\pm \sqrt {16}\\ x_{1;2} & = &3\pm 4\\ x_{1} & = &7\\ x_{2} & =&-1\\ \end{array} $$

Betrachten wir eine beliebige Zahl, zum Beispiel die Fünf. Womit können wir fünf multiplizieren, damit das Ergebnis null ist?

„Eine Multiplikation kann nur dann eine Null zum Ergebnis haben, wenn mindestens einer von beiden Faktoren selbst eine Null ist.“

Aus $a \cdot b = 0$ folgt: $a = 0$ oder $b = 0$ oder beides.

Anwendung: Produkte aus Summen oder Differenzen

Beispiel:

Wir möchten die folgende Gleichung lösen

$$ (x-3)\cdot(x+2)=0 $$

Mit Hilfe des Distributivgesetzes erhalten wir:

$$ \begin{array}{rcl} x^2+2x-3x-6&=&0\\ x^2-x-6&=&0\\ \end{array} $$

Weiterrechnen mit der pq-Formel:

$$ \begin{array}{rcl} x^2-1x-6&=& 0\\ x_{1;2} & = & - \frac{-1}{2}\pm \sqrt {\left( \frac{-1}{2} \right )^2 - (-6)}\\ x_{1;2} & = &0,5\pm \sqrt {0,25+6}\\ x_{1;2} & = &0,5\pm \sqrt {6,25}\\ x_{1;2} & = &0,5\pm 2,5\\ x_{1} & = &3\\ x_{2} & =&-2\\ \end{array} $$

Das hätten wir auch einfacher haben können, indem wir den Satz vom Nullprodukt anwenden.

Aus $(x-3)\cdot(x+2)=0$ folgt $x-3=0$ bzw. $x+2=0$.

Wir lösen beide Gleichungen:

$$ \begin{array}{rcll} x-3&=&0&|+3\\ x&=&3&~\\ \\ x+2&=&0&|-2\\ x&=&-2&~\\ \end{array} $$

Achtung, wichtige Einschränkung!

Diese Methode funktioniert nur, wenn das Produkt gleich null ist. Die Gleichung

$$(x-3)\cdot(x+2)=3$$

könnten wir auf diese Weise nicht lösen.

Anwendung: Gemischt quadratische Gleichung ohne absolute Zahl

In der Gleichung:

$$ x^2+2x=0 $$

fehlt die absolute Zahl $q$.

Wir können die Gleichung mit Hilfe der pq-Formel lösen, wenn wir für das fehlende $q$ eine Null einsetzen:

$$ \begin{array}{rcc} x^2\color{red}{+2}x\color{blue}{+0}=0&&\\ x_{1;2}&=&-\frac{\color{red}{2}}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\color{red}{2}}{2}\right)^2-\color{blue}{0}}\\ x_{1;2}&=&-1\pm\sqrt{1-0}\\ x_{1;2}&=&-1\pm\sqrt{1}\\ x_{1;2}&=&-1\pm 1\\ x_{1}&=&0\\ x_{2}&=&-2\\ \end{array} $$

Einfacher geht es allerdings, wenn wir den Satz vom Nullprodukt anwenden. Wenn die absolute Zahl fehlt, können wir $x$ ausklammern und erhalten dadurch ein Nullprodukt.

$$ \begin{array}{rcll} (x+2) \cdot x&=&0&~\\ x+2&=&0&|-2\\ x&=&-2\\ \\ x&=&0&~\\ \end{array} $$

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