Potenzen & Wurzeln, Rechenregeln

Die Grundlagen wurden schon in „1. Elementares Rechnen“ behandelt.

Exponenten dürfen verschieden sein.

Regel:

$$ a^n \cdot a^m = a^{n+m} $$

Beispiel:

$$ \begin{array}{rclcl} 3^2 \cdot 3^3 &=& 3^{2+3}&=&3^5&=&243\\ 3^2 \cdot 3^3 &=& 9 \cdot 27&=&243\\ \end{array} $$

Exponenten dürfen verschieden sein.

Regel:

$$ \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m} $$

Beispiel:

$$ \begin{array}{rclcl} \frac{3^5}{3^3} &=& 3^{5-3}&=&3^{2}&=&9\\ \frac{3^5}{3^3} &=& \frac{243}{27}&=&9\\ \end{array} $$

Basen dürfen verschieden sein.

Regel:

$$ a^n \cdot b^n = (ab)^n $$

Beispiel:

$$ \begin{array}{rcccl} 2^2 \cdot 3^2&=&4 \cdot 9&=&36\\ (2 \cdot 3)^2&=&6^2&=&36\\ \end{array} $$

Basen dürfen verschieden sein.

Regel:

$$ \frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n $$

Beispiel:

$$ \begin{array}{rcl} \frac{6^2}{3^2} &=& \left(\frac{6}{3}\right)^2&=&2^2&=&4\\ \frac{6^2}{3^2} &=& \frac{36}{9}&=&4\\ \end{array} $$

Regel:

$$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $$

Beispiele:

$$ \begin{array}{lllllll} 2^{-1} &=& \frac{1}{2^1}&=&\frac{1}{2}&=&0,5\\ 4^{-2} &=& \frac{1}{4^2}&=&\frac{1}{16}&=&0,0625\\ \end{array} $$

Regel (Wenn $a\not = 0)$:

$$ a^{0} = 1 $$

Beispiele:

$$ \begin{array}{rcl} 2^{0} &=& 1\\ 234^{0} &=& 1\\ (-7)^0&=&1\\ 0,34^0&=&1\\ \end{array} $$

Regel:

$$ a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} $$

Beispiele:

$$ \begin{array}{rcl} 16^{\frac{1}{2}} &=& \sqrt{16}&=&\pm 4\\ 1024^{\frac{1}{10}} &=& \sqrt[10]{1024}&=&\pm 2\\ \end{array} $$

Regel:

$$ a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^n}=\left(\sqrt[m]{a} \right)^n $$

Beispiel:

$$ \begin{array}{rcl} 8^{\frac{2}{3}} &=& \left(\sqrt[3]{8} \right)^2&=& 4\\ \end{array} $$

Mit Klammer

$$ (a^n)^m= a^{n \cdot m} $$

Beispiel:

$$ \begin{array}{rcrcrcr} (2^3)^2&=&2^{2 \cdot 3}&=&2^6&=&64\\ (2^3)^2&=&8^2&=&64\\ \end{array} $$

Ohne Klammer

$$ a^{n^m}=a^{(n^m)} $$

Beispiel:

$$ 2^{3^2}=2^9=512 $$

„Von oben nach unten“ rechnen. Falsch wäre:

$$ {2^3}^2=\color{red}{8^2=64} $$

Das gilt nur, wenn die innere Potenz geklammert ist. Siehe oben.

Vorsicht! Nicht alle Taschenrechner arbeiten hier korrekt.

Setzen Sie im Zweifelsfall eine Klammer:

$$ 2^\left(3^2 \right) $$