Potenzen & Wurzeln, Rechenregeln

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Inhalt

Grundlagen
Negative Exponenten
Null als Exponent
Brüche als Exponenten
Multiplikation und Division

  Grundlagen

Die Grundlagen wurden schon in „1. Elementares Rechnen“ behandelt.

  Negative Exponenten

Regel:

$$ a^{-n} = \frac{1}{a^n} $$

Beispiele:

$$ \begin{array}{lllllll} 2^{-1} &=& \frac{1}{2^1}&=&\frac{1}{2}&=&0,5\\ 4^{-2} &=& \frac{1}{4^2}&=&\frac{1}{16}&=&0,0625\\ \end{array} $$

  Null als Exponent

Regel (Wenn $a<>0)$:

$$ a^{0} = 1 $$

Beispiele:

$$ \begin{array}{rcl} 2^{0} &=& 1\\ 234^{0} &=& 1\\ (-7)^0&=&1\\ 0,34^0&=&1\\ \end{array} $$

  Brüche als Exponenten

Regel 1:

$$ a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} $$

Beispiele:

$$ \begin{array}{rcl} 16^{\frac{1}{2}} &=& \sqrt{16}&=&\pm 4\\ 1024^{\frac{1}{10}} &=& \sqrt[10]{1024}&=&\pm 2\\ \end{array} $$

Regel 2:

$$ a^{\frac{n}{m}} = \sqrt[m]{a^n}=\left(\sqrt[m]{a} \right)^n $$

Beispiel:

$$ \begin{array}{rcl} 8^{\frac{2}{3}} &=& \left(\sqrt[3]{8} \right)^2&=& 4\\ \end{array} $$

  Multiplikation und Division

Gleiche Basis, Exponenten können verschieden sein

Regeln:

$$ a^n \cdot a^m = a^{n+m} $$ $$ \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m} $$

Beispiele:

$$ \begin{array}{rcl} 3^2 \cdot 3^3 &=& 3^5&=&54\\ \frac{3^2}{3^3} &=& 3^{-1}&=&\frac{1}{3}\\ \end{array} $$

Bei gebrochenen Exponenten kommen die Regeln der Bruchrechnung zur Anwendung:

$$ \frac{\sqrt[6]{8^7}}{\sqrt{8}}=\frac{8^\frac{7}{6}}{8^\frac{1}{2}}=8^{\frac{7}{6}-\frac{1}{2}}= 8^{\frac{7}{6}-\frac{3}{6}}=8^\frac{4}{6}=8^\frac{2}{3}=\left(\sqrt[3]{8}\right)^2=4 $$

Gleicher Exponent, Basen können verschieden sein

Regeln:

$$ a^n \cdot b^n = (ab)^n $$ $$ \frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n $$