Erweiterte Klammerregeln

Regel 1

Steht unmittelbar vor der Klammer ein Pluszeichen $+$, so ist diese Klammer überflüssig und kann weggelassen werden. Dabei fällt auch das Vorzeichen vor der Klammer weg.

Beispiele:

$$a \color \red{+(}b-c\color \red{)}=a+b-c$$

Die rote Klammer wurde mit ihrem Plus weggelassen. Das Plus vor dem b stand heimlich schon in der Klammer.

$$a \color \red{+(}-b+c \color \red{)}=a-b+c$$

Hier wird ganz deutlich, dass die rote Klammer mit ihrem Plus weggelassen wurde.

Regel 2

Steht unmittelbar vor der Klammer ein Minuszeichen $-$, so kann die Klammer weggelassen werden, wenn wir alle Vorzeichen in der Klammer drehen ($+$ zu $-$ und $-$ zu $+$). Dabei fällt auch das Vorzeichen vor der Klammer weg.

Beispiele:

$$a \color \red {-(}-b+c-d \color \red )= a+b-c+d$$

Die rote Klammer und ihr Minuszeichen fielen weg, alle Vorzeichen in der Klammer wurden gedreht.

$$a \color \red {-(}b-c-d \color \red )= a-b+c+d$$

Die rote Klammer und ihr Minuszeichen fielen weg, alle Vorzeichen in der Klammer (auch das heimliche Plus vor dem b) wurden gedreht.

$$a \color \red {-[}b+c \color \green {-(}d - e \color \green ) \color \red ]= a -b-c \color \green {+(}d - e \color \green ) $$

Die rote eckige Klammer fiel mit ihrem Minusvorzeichen weg. Alle Vorzeichen in der Klammer wurden gedreht.

Achtung!

In der eckigen Klammer befanden sich drei Elemente $b$, $c$ und eine runde Klammer. Die drei entsprechenden Vorzeichen wurden gedreht. Im Inneren der runden Klammer ändert sich nichts!

Regel 3

Geschachtelte Klammern können wir von außen nach innen oder von innen nach außen auflösen. Beides führt zum gleichen Ergebnis.

Beispiel

Von außen nach innen:

$$ \begin{array}{lclclcl} a-[b-(-c+d)]&=&a-b+(-c+d)\\ ~&=&a-b-c+d\\ \end{array} $$

Von innen nach außen:

$$ \begin{array}{lclclcl} a-[b-(-c+d)]&=&a-[b+c-d]\\ ~&=&a-b-c+d\\ \end{array} $$

Faktor mal Summe:

$$a \cdot (b + c) = ab + ac$$

Wegen des Kommutativgesetzes der Multiplikation ist es gleichgültig, ob der Faktor rechts oder links von der Summe steht.

$$a \cdot (b + c) = (b + c) \cdot a =ab + ac$$

Beispiele:

$$7 \cdot (4 + x) = 28 + 7x$$ $$-7 \cdot (4 - x) = -28 + 7x$$

Vorzeichen beachten!

Das geht auch mit mehr als zwei Elementen in der Klammer!

$$3 \cdot (a-b+c...) = 3a -3b +3c...$$

Summe mal Summe:

Zwei Summen können wir multiplizieren, indem wir in zwei Schritten vorgehen:

Im ersten Schritt lösen wir die linke Klammer nicht auf, sondern betrachten sie als Faktor und lösen nur die rechte Klammer auf, indem wir das Distributivgesetz anwenden.

Im zweiten Schritt lösen wir dann auch die linke Klammer mit dem Distributivgesetz auf.

$$ \begin{array}{lcl} ~&(a+b)(c+d)&=&~\\ 1)&~&=&(a+b)c+(a+b)d\\ 2)&~&=&ac+bc+ad+bd\\ \end{array} $$

Im Endeffekt multiplizieren wir dabei jedes Element der ersten Summe mit jedem Element der zweiten Summe:

$$ (a+b) \cdot \color \red {(c+d)}~= \begin{array}{|l|lllll|} \hline ~&~~~a~&+&~~~b~\\ \hline \color \red c&~~a \cdot \color \red c~&~&~+b \cdot \color \red c~\\ \color \red +&~&~&~&\\ \color \red d&~+a \cdot \color \red d~&~&~+b \cdot \color \red d~\\ \hline \end{array} =~a \color \red c + b \color \red c + a \color \red d + b \color \red d $$

Beispiele (Vorzeichen beachten):

$$ \begin{array}{lcl} (a-b) \cdot (c-d)&=&ac -bc -ad +bd\\ (3 + x) \cdot (4 + y) &=&12+4x+3y+xy\\ (3-x) \cdot (2 + y + z) &=&6-2x+3y-xy+3z-xz\\ \end{array} $$

Ausklammern:

Wir können das Distributivgesetz auch rückwärts anwenden. Diesen Vorgang nennen wir ausklammern, oder auch: „Vor die Klammer ziehen.&ldquo"

Beispiele:

$$7x-14y+21z = 7 \cdot (x -2y +3z)$$ $$15x^2-5xy+30xz=5x \cdot (3x-y+6z)$$

PDF-Aufgabe: Faktor mal Summe

Beispiel Spalte a: $4(3x-7)=12x-28$

Beispiel Spalte b: $5y(3x-7)=15xy-35y$

 

PDF-Aufgabe: Ausklammern

Beispiel Spalte a: $12x-28=4(3x-7)$

Beispiel Spalte b: $15xy-35y=5y(3x-7)$