Sehr große, sehr kleine Zahlen

Im Dezimalsystem bedeutet mit zehn zu multipliplizieren, einfach eine Null anzuhängen oder bei einer Kommazahl, das Komma um eine Stelle nach rechts zu verschieben.

Beispiele:

$$ \begin{array}{lcl} 35 \cdot 10 &=& 350\\ 12,34 \cdot 10&=& 123,4\\ \end{array} $$

Im Dezimalsystem durch zehn zu dividieren bedeutet, einfach eine Null am Ende zu streichen oder bei einer Kommazahl, das Komma um eine Stelle nach links zu verschieben.

Beispiele:

$$ \begin{array}{lcl} 4 : 10&=&0,4\\ 0,4:10&=&0,04\\ 350 : 10 &=& 35\\ 12,34 : 10&=& 1,234\\ \end{array} $$

Aus den Regeln aus Abschnitt „10. Potenzen & Wurzeln, Rechenregeln“ läßt sich die folgende Schreibweise begründen:

$$ \begin{array}{lrcrcr} Million:&~1 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10&=&1 \cdot 10^6\\ Tausend:&~1 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10&=&1 \cdot 10^3\\ Hundert:&~1 \cdot 10 \cdot 10&=&1 \cdot 10^2\\ Zehn:&1 \cdot 10&=&1 \cdot 10^1\\ Eins:&~1&=&1 \cdot 10^0\\ Ein~Zehntel: &1 \cdot \frac{1}{10}&=&1 \cdot 10^{-1}\\ Ein~Hundertstel: & 1 \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10}&=&1 \cdot 10^{-2}\\ Ein~Tausendstel: &1 \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{10}&=&1 \cdot 10^{-3}\\ \end{array} $$

Sinnvoll ist diese Schreibweise, wenn wir sehr große oder sehr kleine Zahlen darstellen.

Beispiele:

$$ \begin{array}{lll} 8,5 \cdot 10^6&=&8500000\\ 8,5 \cdot 10^{-6}&=&0,0000085\\ 7,2 \cdot 10^{20}&=&720000000000000000000\\ \end{array} $$

Diese Schreibweise ist erheblich kürzer und lesbarer. Das Komma ist jeweils um die entsprechende Anzahl nach rechts (positiver Exponent) oder links (negativer Exponent) zu verschieben.

Einige Vielfache und Teile von Maßeinheiten kennen Sie bereits aus Abschnitt „2. Länge, Fläche und Volumen“. Hier lernen Sie noch Weitere kennen und wie sie mit Zehnerpotenzen umgerechnet werden können.

Bez. Abk. Umr.

Atto a $10^{-18}$

Femto  f $10^{-15}$

Pico p $10^{-12}$

Nano n $10^{-9}$

Mikro µ $10^{-6}$

Milli m $10^{-3}$

Zenti c $10^{-2}$

Dezi d $10^{-1}$

Deka da $10^{1}$

Hekto h $10^{2}$

Kilo k $10^{3}$

Mega M $10^{6}$

Giga G $10^{9}$

Tera T $10^{12}$

Bitte beachten:

Hat die Maßeinheit eine zwei (Flächen) oder eine drei (Volumen) als Exponent, muss auch der Umrechnungsfaktor entsprechend mit potenziert werden.

Beispiel:

$$ \begin{array}{} 1~cm &=&~&~& 10^{-2}~m\\ 1~cm^2&=&(10^{-2})^2~m^2&=&10^{-4}~m^2\\ 1~cm^3&=&(10^{-2})^3~m^2&=&10^{-6}~m^2\\ ~&~&~&~&~\\ 1~km &=&~&~& 10^{3}~m\\ 1~km^2&=&(10^{3})^2~m^2&=&10^{6}~m^2\\ 1~km^3&=&(10^{3})^3~m^2&=&10^{9}~m^2\\ \end{array} $$