Bruchrechnung

Wenn wir 5 Kekse gerecht an zwei Kinder verteilen wollen, bekommt jedes Kind zwei Kekse und einer bleibt übrig, den wir nicht verteilen können.

Um diesen Rest auch noch gerecht zu verteilen, müssen wir den Keks in zwei Hälften zerbrechen: Wir erzeugen einen Bruch.

Wir schreiben:

$$ \frac{1}{2} $$

Rechnerisch bedeutet das:

$$ \frac{1}{2} = 1 : 2 $$

Die Zahl über dem Bruchstrich nennen wir Zähler, die Zahl unter dem Bruchstrich Nenner.

Wir können auch in mehr als zwei Teile zerbrechen, etwa in fünf Teile:

$$ \frac{1}{5} $$

Der Nenner entscheidet in wieviele Teile wir das Ganze zerbrechen, der Zähler zählt, wieviele Bruchstücke wir nehmen:

$$ \frac{3}{5} $$

Gesprochen: „Drei Fünftel“ Fünftel von fünf Teile.

Achtung:

Statt Dreitel sagen wir „Drittel“.

Statt Zweitel sagen wir „Halbe“.

Schauen wir uns die folgenden Brüche genauer an:

$$\frac{1}{2}$$	$$\frac{2}{4}$$	$$\frac{3}{6}$$	$$\frac{4}{8}$$

Die Färbung der Diagramme zeigt deutlich:
Obwohl die Brüche in unterschiedlich große Teile zerlegt wurden, sind die farbigen Flächen trotzdem alle gleich groß!

Erweitern

Multiplizieren wir Zähler und Nenner eines Bruches mit der gleichen Zahl, so ändert sich der Wert des Bruches nicht. Dies nennen wir erweitern.

Erweitern um 3:

$$\frac {1}{2}=\frac {1 \cdot 3}{2 \cdot 3}=\frac {3}{6}$$

Kürzen

Dividieren wir Zähler und Nenner eines Bruches durch die gleichen Zahl, so ändert sich der Wert des Bruches ebenfalls nicht. Dies nennen wir kürzen.

Kürzen um 4:

$$\frac {4}{8}=\frac {4 : 4}{8 : 4}=\frac {1}{2}$$

Wir können einen Bruch so lange kürzen, bis Zähler und Nenner teilerfremd sind. Kürzen wir den Bruch um den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner , so haben wir den Bruch in einem Schritt so weit wie möglich gekürzt.

Dafür einfach die Division durchführen:

Beispiele:

Endliche Dezimalbrüche:

$$ \frac{1}{2}=1:2=0,5 $$ $$ \frac{1}{4}=1:4=0,25 $$ $$ \frac{3}{5}=3:5=0,6 $$

Periodische Dezimalbrüche (einstellige Periode):

$$\frac{1}{3} = 1: 3=0,333333...=0,\overline 3$$

Periodische Dezimalbrüche (mehrstellige Periode):

$$\frac{6}{11} = 6: 11=0,545454...=0,\overline {54}$$

Richtige Ausprache: „Null Komma Periode fünf vier“

Falsche Ausprache: „Null Komma fünf vier Periode“ (Könnte auch $0,5444444...$ bedeuten!)

Periodische Dezimalbrüche (Periode beginnt nicht direkt hinter dem Komma):

$$\frac{142}{275} = 142: 275=0,51636363...=0,51\overline {63}$$

"Null Komma fünf eins Periode sechs drei"

Die folgenden Beispiele sollten Sie auswendig lernen:

$$ \begin{array}{} \frac{1}{2}& = &0,5\\ \frac{1}{3}& = &0, \overline 3\\ \frac{1}{4}& = &0,25\\ \frac{3}{4}& = &0,75\\ \frac{1}{5}& = &0,2\\ \frac{1}{9}& = &0, \overline 1\\ \frac{1}{10}& =& 0,1\\ \end{array} $$

Nicht periodische Dezimalbrüche

Arbeitsschritte:

1) Nachkommastellen des Dezimalbruchs zählen.

2) Stellen vor dem Komma ggf. als ganze Zahl voranstellen.

3) Nenner: Eine Eins mit so vielen Nullen, wie es Nachkommastellen gibt.

4) Zähler: Aus den Nachkommastellen bilden.

5) Den so entstandenen Bruch bei Bedarf kürzen.

Beispiele:

1) 16,75 Zwei Stellen hinter dem Komma

2) 16 vor den Bruch stellen

3) Nenner: 100

4) Zähler: 75    $16 \frac{75}{100}$

5) Kürzen um 25    $16 \frac{3}{4}$

$$ \begin{array}{} 0,5&=&\frac{5}{10}&=&\frac{1}{2}\\ 17,5&=&17 \frac{5}{10}&=&17 \frac{1}{2}\\ 0,25&=&\frac{25}{100}&=&\frac{1}{4}\\ 3,25&=&3 \frac{25}{100}&=&3 \frac{1}{4}\\ 0,025&=&\frac{25}{1000}&=&\frac{1}{40}\\ 7,025&=&7 \frac{25}{1000}&=&3 \frac{1}{40}\\ \end{array} $$

Periodische Dezimalbrüche

Arbeitsschritte:

1) Stellen der Periode zählen.

2) Stellen vor dem Komma ggf. als ganze Zahl voranstellen.

3) Nenner: Genau so viele Neunen, wie es periodische Stellen gibt.

4) Zähler: Eine Periode.

5) Den so entstandenen Bruch bei Bedarf kürzen.

Beispiele:

1) $7, \overline{12}$ Periode hat zwei Stellen

2) 7 vor den Bruch stellen

3) Nenner: 99

4) Zähler: 12    $7 \frac{12}{99}$

5) Kürzen um 3    $7 \frac{4}{33}$

Periode beginnt nicht genau hinter dem Komma

Beispiel:

$0,51 \overline {63}=0,51 + 0,00 \overline {63}=\frac{51}{100} + \frac{1}{100} \cdot \frac{63}{99}=$ $\frac{5112}{9900}=\frac{142}{275}$

Gleicher Nenner

Sollen zwei Brüche addiert werden, deren Nenner gleich sind, brauchen wir nur die Zähler zu addieren. Der Nenner verändert sich dabei nicht.

	+		=
$$\frac{2}{4}$$	$$+$$	$$\frac{1}{4}$$	$$=$$	$$\frac{2+1}{4} = \frac{3}{4}$$

Da beide Kreise in Viertel aufgeteilt waren, brauchten wir zu den zwei Vierteln lediglich ein weiteres Viertel hinzuzufügen.

Bei der Subtraktion verfahren wir entsprechend:

	$$-$$		$$=$$
$$\frac{3}{4}$$	$$-$$	$$\frac{2}{4}$$	$$=$$	$$\frac{3-2}{4} = \frac{1}{4}$$

Verschiedene Nenner

Haben zwei Brüche verschiedene Nenner, wird die Sache problematischer, wie das folgende Beispiel zeigt:

	$$+$$		$$=$$	???
$$\frac{1}{3}$$	$$+$$	$$\frac{1}{2}$$	$$=$$	???

Da beide Kreise unterschiedlich aufgeteilt sind, passen die Bruchstücke des einen Kreises nicht in den anderen. Wir müssen erst durch geschicktes Kürzen oder Erweitern beide Brüche auf einen gemeinsamen Nenner (Hauptnenner) bringen. Dann brauchen wir wieder nur die Zähler zu addieren:

	$$+$$		$$=$$
$$\frac{2}{6}$$	$$+$$	$$\frac{3}{6}$$	$$=$$	$$\frac{5}{6}$$

Hauptnenner finden

Der einfachste Weg einen geeigneten Hauptnenner zu finden ist, den ersten Bruch mit dem Nenner des zweiten Bruchs und den zweiten Bruch mit dem Nenner des ersten Bruchs zu erweitern.

Beispiel:

$\frac{1}{3} +\frac{2}{5}=\frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} +\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3}=\frac{5}{15} +\frac{6}{15}$ $=\frac{5+6}{15}=\frac{11}{15}$

Anmerkung:

Der kleinst mögliche Hauptnenner ist das kleinste gemeinsamen Vielfache der beiden Nenner.

Regel:

Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.

Beispiel (im letzten Schritt gekürzt):

$$\frac{2}{7} \cdot \frac{3}{4}=\frac{2 \cdot 3}{7 \cdot 4}=\frac{6}{28}=\frac{3}{14}$$

Regel:

Den geteilten Bruch mit dem Kehrwert des teilenden Bruchs multiplizieren.

Beispiel:

$$\frac{2}{5} : \frac{3}{7}=\frac{2}{5} \cdot \frac{7}{3}=\frac{2 \cdot 7}{5 \cdot 3}=\frac{14}{15}$$

Mit unter kommt es vor, dass der Zähler eines Bruches größer ist, als sein Nenner.

Solche Brüche werden auch unechte Brüche genannt.

Beispiel: $\frac{3}{2}$

Statt $\frac{3}{2}$ könnten wir auch $1\frac{1}{2}$ (sprich: Eineinhalb) schreiben.

Einen Bruch dem der (in unechten Brüchen immer vorhandenen) ganzzahlige Anteil vorangestellt ist, nennen wir gemischten Bruch.

Umwandlung: unechter Bruch - gemischter Bruch

Formel: $\frac{z}{n}~~~z : n = g ~~Rest~~ r~~~~~~g \frac{r}{n}$

Beispiel: $\frac{17}{5}~~~~~~17:5=3 ~~Rest~~ 2~~~~~~3 \frac{2}{5}$

Umwandlung: gemischter Bruch - unechter Bruch

Formel: $g \frac{z}{n} = \frac{g \cdot n + z}{n}$

Beispiel: $3 \frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 2}{5}=\frac{17}{5}$

Kürzen

Beispiele:

$\frac{2a}{3a}=\frac{2}{3}$ gekürzt um $a$

$\frac{2a^2}{3a}=\frac{2a}{3}$ gekürzt um $a$

$\frac{3a}{6a}=\frac{2}{3}$ gekürzt um $3a$

$\frac{3a}{6a^2}=\frac{2}{3a}$ gekürzt um $3a$

„ Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen!“

$\frac{2+a}{3+a}$ Kürzen nicht möglich.

$\frac{7-a}{8-a}$ Kürzen nicht möglich.

Kürzen nach vorbereitender Umformung:

$\frac{3a+2a}{15a^2}=\frac{5a}{15a^2}=\frac{3}{3a}$ Über dem Bruchstrich addiert, dann um $5a$ gekürzt.

$\frac{x^2-14x+49}{3x-21}=\frac{(x-7)^2}{3(x-7)}=\frac{x-7}{3}$ Binomische Formel über dem Bruchstrich, 3 ausgeklammert unter dem Bruchstrich, dann um $x-7$ gekürzt.

Addieren und Subtrahieren

$\frac{2}{a} + \frac{3}{b}=\frac{2b}{ab} + \frac{3a}{ab}=\frac{2b+3a}{ab}$

$\frac{2}{a} - \frac{3}{b}=\frac{2b}{ab} - \frac{3a}{ab}=\frac{2b+3a}{ab}$

Multiplizieren

$\frac{2}{a} \cdot \frac{3}{b}=\frac{6}{ab}$

Dividieren

$\frac{2}{a} : \frac{3}{b}=\frac{2}{a} \cdot \frac{b}{3}=\frac{2b}{3a}$

PDF-Übung: Addieren, Multiplizieren und Dividieren mit Brüchen.

PDF-Übung: Quadratische Ergänzung mit Brüchen.

PDF-Übung: Gleichungen mit Brüchen.