Binomische Formeln

Herleitung

Binome sind zweigliedrige Summen (2 = bi, Binom: Zweinamig). Die binomischen Formeln berechnen die Quadrate von Binomen.

$$ \begin{array}{rcl} (a+b)^2&=&(a+b)(a+b)\\ ~&=&a^2+ab+ab+b^2\\ ~&=&a^2+2ab+b^2 \end{array} $$ $$ \begin{array}{rcl} (a-b)^2&=&(a-b)(a-b)\\ ~&=&a^2-ab-ab+b^2\\ ~&=&a^2-2ab+b^2 \end{array} $$ $$ \begin{array}{rcl} (a+b)(a-b)&=&a^2+ab-ab-b^2\\ ~&=&a^2-b^2 \end{array} $$

Binomische Formeln

$$ \begin{array}{rrcl} I&(a+b)^2&=&a^2+2ab+b^2\\ II&(a-b)^2&=&a^2-2ab+b^2\\ III&(a+b)(a-b)^2&=&a^2-b^2\\ \end{array} $$

Dringende Empfehlung: Lernen Sie diese drei Formeln auswendig!

Wir können binomische Formeln anwenden, um beispielsweise Zahlen zu quadrieren.

$$ \begin{array}{rcl} 79^2&=&(80 - 1)^2\\ ~&=&80^2-2 \cdot 80 \cdot 1 + 1^2\\ ~&=&6400-160+1\\ ~&=&6241\\ \end{array} $$ $$ \begin{array}{rcl} 72^2&=&(70 +2)^2\\ ~&=&70^2+2 \cdot 70 \cdot 2 + 2^2\\ ~&=&4900+280+4\\ ~&=&5184\\ \end{array} $$

PDF-Übung: Binomische Formeln I & II vorwärts anwenden.

Beispiele:

$$ \begin{array}{} (x-10)^2&=&x^2-2 \cdot x \cdot 10 + 10^2\\ ~&=&x^2 - 20x + 100\\ ~&~&~\\ (x+8)^2&=&x^2+2 \cdot x \cdot 8 + 8^2\\ ~&=&x^2 + 16x + 64\\ \end{array} $$

PDF-Übung: Binomische Formeln I & II rückwärts anwenden.

Beispiel:

$$ \begin{array}{} x^2+14x + 49^2&=&(x +14:2)^2\\ ~&=&(x +7)^2\\ \end{array} $$

oder

$$ \begin{array}{} x^2+14x + 49^2&=&(x +\sqrt{49})^2\\ ~&=&(x +7)^2\\ \end{array} $$

Achtung!

Das funktioniert nur, weil $14:2 = \sqrt{49}$ ist!

$x^2+14x+36$ ist kein binomischer Ausdruck, da $14:2=7$ aber $\sqrt{36}=6$ ist. In diesem Fall kann keine binomische Formel angewandt werden. In der vorliegenden Aufgabe kommen solche Fälle nicht vor.

PDF-Übung: Binomische Formeln ergänzen und als Klammer schreiben.

Beispiel:

$$ \begin{array}{} x^2+18x .~.~.~&=&x^2+18x+(18:2)^2\\ ~&=&x^2+18x+9^2\\ ~&=&x^2+18x+81\\ ~&=&(x+9)^2\\ \end{array} $$