9. Binomische Formeln

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Inhalt

Die drei binomischen Formeln
Binomische Formeln rückwärts anwenden
Wie kommen die binomischen Formeln zustande?
Anwendungsbeispiele
Aufgaben

 Die drei binomischen Formeln

Die drei binomischen Formeln lauten:

I: $(a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2$
II: $(a - b)^2 = a^2 - 2 a b + b^2$
III: $(a + b) \cdot (a - b)= a^2 - b^2$

Ich rate dringend dazu, diese drei Formeln auswendig zu lernen!

Beispiele:

$(x+y)^2=x^2+2 xy + y^2$
$(x-y)^2=x^2-2 xy + y^2$
$(x+y)(x-y)=x^2- y^2$

Das war leicht, weil wir nur die Buchstaben ausgetauscht haben. Kommen in der Klammer auch Zahlen vor, gibt es auch was zu rechnen:

$(x+3)^2=x^2+2 \cdot x \cdot 3 + 3^2=x^2+ 6 x +9$
$(x-7)^2=x^2-2 \cdot x \cdot 7 + 7^2=x^2-14 x +49$
$(x+9)(x-9)=x^2- 9^2=x^2- 81$

  Binomische Formeln rückwärts anwenden

Das Gleichheitszeichen ist keine Einbahnstraße.

Wenn $(a + b)^2 = a^2 + 2 a b + b^2$ gilt,

dann gilt natürlich auch: $ a^2 + 2 a b + b^2=(a + b)^2 $.

Beispiel:
Den Ausdruck:

$x^2 - 10x + 25$

können wir mit der zweiten binomischen Formel zu

$(x-5)^2$

umformen.

Achtung!

Das geht nur, weil $\left(\frac{10}{2}\right)^2=25$ ist.

Den Ausdruck: $x^2+14x +50$

können wir nicht mit der ersten binomischen Formel umformen, weil er wegen

$\left(\frac{14}{2}\right)^2 \not = 50$

kein binomischer Ausdruck ist.

 Wie kommen die binomischen Formeln zustande?

Herleitung der binomischen Formeln:

I: $\mathbf{(a + b)^2} = (a+b)\cdot (a+b)= a^2 + ab + ab + b^2 =\mathbf{a^2 + 2 a b + b^2}$
II: $\mathbf{(a - b)^2} = (a-b)\cdot (a-b)= a^2 - ab - ab + b^2 =\mathbf{a^2 - 2 a b + b^2}$
III: $\mathbf{(a + b) \cdot (a-b)} = a^2 - ab + ab - b^2 =\mathbf{a^2 - b^2}$

  Anwendungsbeispiele

Rechnen:
Mit Hilfe der binomischen Formeln können Quadrate leichter im Kopf berechnet werden:

Zu rechnen: $59^2$

Mit der 2. binomischen Formel:

$59 = 60 -1$
$(60 - 1)^2 = 60^2 - 2 \cdot 60 \cdot 1 + 1^2=3600 - 120 +1 =3481$

Oder mit der 1. binomischen Formel:

$59 = 50 + 9$
$(50 + 9)^2 = 50^2 + 2 \cdot 50 \cdot 9 + 9^2=2500 + 900 + 81=3481$

Umformen:
Beispiel: ${x^2 + 6x + 9} = (x+3)^2$