8. Vorzeichen-/Klammerregeln

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Inhalt

Allgemeines
Betrag einer Zahl
Addition
Multiplikation und Division
Klammern mit Vorzeichen
Das Distributivgesetz
Aufgaben

 Allgemeines

Positive und negative Zahlen: Was positive und negative Zahlen sind können wir uns leicht an einem Bankkonto klarmachen.
Befinden sich auf dem Konto 5000 €, beträgt der Kontostand $+5000$ oder kurz $5000$ (Das Pluszeichen dürfen wir weglassen, solange dadurch keine Missverständnisse entstehen).
Ist das Konto dagegen um 3000 € überzogen, beträgt der Kontostand $-3000$ (Das Minuszeichen dürfen wir nicht weglassen).

Zahlenstrahl: Der Zahlenstrahl zeigt die Anordnung der positiven und negativen Zahlen.

Die Zahlen werden von links nach rechts größer.

 Betrag einer Zahl

Manchmal interessieren wir uns nicht für das Vorzeichen einer Zahl, sondern nur für ihren Betrag.
Dann schreiben wir die Zahl in sogenannte Betragsstriche.
Beispiel: $|-5|$

Das hat Auswirkungen, wenn wir die Zahlen vergleichen.
$-6 < 5$   aber   $|-6| > |5|$
-6 ist kleiner als 5, aber der Betrag von -6 ist größer, als der Betrag von 5.

 Addition

Beim Addieren von Zahlen mit Vorzeichen gelten folgende Regeln:
Gleiches Vorzeichen Die Beträge der Zahlen werden zusammengezählt und das gemeinsame Vorzeichen wird übernommen.
Beispiele:
$+5 +6 = +(5+6) = +11$
$-8 -2 = -(8+2) = -10$

Verschiedene Vorzeichen Vom größeren Betrag wird der kleinere Betrag abgezogen und das Vorzeichen der Zahl, die den größeren Betrag hatte wird übernommen.
Beispiele:
$-7+5 = -(7-5) = -2$
$+7-5 = +(7-5) = +2$
$-4+5 = +(5-4) = +1$
$+4-5 = -(5-4) = -1$

 Multiplikation und Division

Regeln für die Multiplikation:
$+ \cdot + = +$
$+ \cdot - = -$
$- \cdot + = -$
$- \cdot - = +$

Regeln für die Division:
$+ : + = +$
$+ : - = -$
$- : + = -$
$- : - = +$

Lernen Sie diese Regeln auswendig!

Beispiele:
$-30 \cdot 2 ~~~~~~~= -60$
$30 : (-2) ~~~~= -15$
$30 : 2 ~~~~~~~~~~= 15$
$-5 \cdot (-3) ~~~= +15$
$-20 : (-5) ~= +4$

Warnung!
Sagen Sie nie "Minus und Minus ergibt Plus". Das ist falsch!
Richtig heißt es: "Minus mal Minus ergibt Plus" oder "Minus durch Minus ergibt Plus". Alles andere führt in die Irre!

 Klammern mit Vorzeichen

Ein Plus vor der Klammer:
Eine Klammer mit positivem Vorzeichen dürfen wir (samt Vorzeichen) weglassen. Wir lösen die Klammer auf.
Beispiel: Statt $+(-3+x)$   schreiben wir kurz   $-3+x$

Ein Minus vor der Klammer:
Eine Klammer mit negativen Vorzeichen dürfen wir (samt Vorzeichen) weglassen, wenn wir die Vorzeichen in der Klammer "umdrehen" (Minus zu Plus, Plus zu Minus).

Beispiel: Statt $-(-3+x)$   schreiben wir kurz   $+3-x$

Geschachtelte Klammern:
Statt $-[-5-(y + x)]$   schreiben wir kurz   $+5+(y + x)$.

Anmerkung: Wir haben nur die Vorzeichen im Inneren der eckigen Klammer gedreht. Die Vorzeichen im Inneren der runden Klammer gehen die eckige Klammer nichts an und bleiben deshalb unverändert!

Wir könnten die innere Klammer in einem zweiten Schritt dann auch auflösen. Es spielt übrigens keine Rolle, ob wir die Klammern
von innen nach außen: $$-[-5-(y + x)] = -[-5 -y - x] = +5 + y + x$$ oder von außen nach innen: $$-[-5-(y + x)] = +5+(y + x) = +5 + y + x$$ auflösen.

 Das Distributivgesetz

Faktor mal Summe:
$a \cdot (b + c) = ab + ac$

Beispiele:
$7 \cdot (4 + x) = 28 + 7x$
$-7 \cdot (4 - x) = -28 + 7x$   Vorzeichen beachten!

Ausklammern:
Wir können das Distributivgesetz auch rückwärts anwenden. Diesen Vorgang nennen wir ausklammern.
Beispiel: $7x-14y+21z = 7 \cdot (x -2y +3z)$

Summe mal Summe:
$(a + b) \cdot (c + d) = ac + ad + bc + bd$

Beispiele:
$(3 + x) \cdot (4 + y) = 12+3y+4x+xy$ $(3-x) \cdot (2 + y + z) = 6 +3y + 3z -2x - xy - xz$
Das geht auch mit mehr als zwei Elementen in der Klammer!

 Aufgaben

Faktor mal Summe: PDF Aufgabenblatt
Ausklammern: PDF Aufgabenblatt
Summe mal Summe: PDF Aufgabenblatt