6. Dreisatz und Prozentrechnung

Die Formeln werden nur mit aktiviertem JavaScript korrekt dargestellt.
Die Fensterbreite des Browsers sollte 800 Pixel nicht unterschreiten.

Zur Startseite    Datenschutzerklärung    Impressum    Lernprogramm    © Jakob Fechtig
 

Inhalt

Proportionaler Dreisatz
Umgekehrt proportionaler Dreisatz
Prozentrechnung: Grundlagen
Prozentrechnung: Vermehrter und verminderter Grundwert

  Proportionaler Dreisatz

Regel: "Je mehr, desto mehr. Je weniger, desto weniger."

Beispiel: Acht Liter Farbe kosten 20 €. Wieviel kosten 12 Liter?
Je mehr Farbe wir kaufen, desto teurer wird es. Je weniger Farbe wir kaufen, desto billiger wird es. Wir rechnen:

1. Satz $8$ Liter - $20,00$ €
  $: 8$   $: 8$
2. Satz $1$ Liter - $2,50$ €
  $\cdot 12$   $\cdot 12$
3. Satz $12$ Liter - $30,00$ €

Antwort: "12 Liter Farbe kosten 30,00 €."

  Umgekehrt proportionaler Dreisatz

Regel: "Je mehr, desto weniger. Je weniger, desto mehr."

Beispiel: Drei Pumpen schaffen es, einen überfluteten Keller in 6 Stunden leerzupumpen. In welcher Zeit schaffen das 4 Pumpen?
Je mehr Pumpen wir arbeiten lassen, desto schneller ist der Keller leergepumpt. Setzen wir weniger Pumpen ein, dauert es länger. Wir rechnen:

1. Satz $3$ Pumpen - $6$ Stunden
  $: 3$   $\cdot 3$
2. Satz $1$ Pumpe - $18$ Stunden
  $\cdot 4$   $: 4$
3. Satz $4$ Pumpen - $4,5$ Stunden

Antwort: "Vier Pumpen schaffen es in 4 Stunden und 30 Minuten."

  Prozentrechnung: Grundlagen

Was sind Prozente?
Prozente sind eine Methode Anteile zu messen. Im Prinzip sind Prozente Hundertstel.
Beispiel:
500 Personen einer Gemeinde mit 2000 Einwohnern haben gegen den Bau einer Umgehungsstraße unterschrieben. Wie groß ist der Anteil der Unterzeichner in Prozent? Wir bilden einen Bruch:
$$\frac{500}{2000}$$ Diesen Bruch kürzen wir um 20 zu $$\frac{25}{100}$$ und schreiben: $$25 \%$$

Abkürzungen und Begriffe
$P_W$: Prozentwert (im Beispiel 500)
$G~~~$: Grundwert (im Beispiel 2000)
$p~~~~$: Prozentsatz

Wichtige Prozentsätze
Die folgenden Brüche und ihre zugehörigen Prozentsätze sollten Sie unbedingt auswendig lernen!

$\frac{1}{100} = ~~1 \%$
$\frac{1}{10} ~= ~10 \%$
$\frac{1}{5} ~~= ~20 \%$
$\frac{1}{4} ~~= ~25 \%$
$\frac{1}{2} ~~= ~50 \%$
$\frac{3}{4} ~~= ~75 \%$
$\frac{1}{1} ~~= 100 \%$

Formeln
Je nachdem, welche Größe gesucht ist, können Sie eine der folgenden Formeln verwenden:

$P_W = \frac{G \cdot p}{100}~~~~~~~~~~G = \frac{P_W}{p} \cdot 100~~~~~~~~~~p = \frac{P_W}{G} \cdot 100$

Beispiele
Wieviel Prozent sind 8 von 16?

$p = \frac{8}{16} \cdot 100$

$p = 50 \%$    "8 von 16 sind 50 %."

Wieviel sind 25% von 36?

$P_W = \frac{36 \cdot 25}{100}$

$P_W = 9$    "25 % von 36 sind 9."

Wenn 20% 18 sind, wieviel sind es dann insgesamt?

$G = \frac{18}{20} \cdot 100$

$G = 90$    "Wenn 20 % 18 sind, sind es insgesamt 90."

  Prozentrechnung: Vermehrter und verminderter Grundwert