4. Bruchrechnung

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Inhalt

Wozu dienen Brüche?
Schreibweise und Bezeichnungen
Brüche kürzen und erweitern
Brüche addieren und subtrahieren
Brüche multiplizieren
Brüche dividieren
Unechte und gemischte Brüche
Umrechnung: Bruch -> Dezimalbruch
Umrechnung: Dezimalbruch -> Bruch
Aufgaben zur Bruchrechnung

  Wozu dienen Brüche?

Angenommen, wir möchten fünf Kekse gerecht an vier Kinder verteilen.
Wir rechnen: $$5 : 4 = 1 ~~Rest ~~ 1$$ Das heißt: Jedes Kind bekommt einen Keks, aber leider bleibt ein Keks übrig.

Wenn wir diesen letzten Keks auch noch verteilen möchten, müssen wir ihn in vier gleich große Teile zerbrechen.

Viertel
Weil wir den Keks in vier Teile zerbrochen haben, nennen wir die einzelnen Bruchstücke Viertel.

Wir geben also jedem Kind noch ein Viertel des Kekses und haben dadurch auch den übrig gebliebenen Keks gerecht verteilt.

 Schreibweise und Bezeichnungen

Sollten wir drei Kekse an die vier Kinder verteilen, müssten wir alle drei Kekse in Viertel brechen und jedem Kind drei dieser Viertel geben.

Jedes Kind im obigen Beispiel bekommt also drei Viertel eines zerbrochenen Kekses.

Viertel
Geschrieben: $\frac{3}{4}$ Gesprochen: "Drei Viertel"

Bezeichnungen: Die untere Zahl (in unserem Fall die 4) benennt, in wieviele Bruchstücke der Keks zerlegt werden musste. Diese Zahl heißt daher Nenner.
Die obere Zahl (in unserem Fall die 3) zählt die Anzahl der verteilten Bruchstücke. Diese Zahl heißt daher Zähler.
Der Strich zwischen beiden Zahlen heißt Bruchstrich.

Abweichende Sprechweisen:
$\frac{1}{3}$ heißt nicht ein Dreitel, sondern ein Drittel.
$\frac{1}{2}$ heißt nicht ein Zweitel, sondern ein Halb.

 Brüche kürzen und erweitern

Betrachten wir die folgenden Brüche:

ein halb zwei viertel drei sechstel vier achtel
$\frac{1}{2}$ $\frac{2}{4}$ $\frac{3}{6}$ $\frac{4}{8}$

Die Diagramme zeigen deutlich:
Obwohl die Brüche verschieden geschrieben werden, sind sie trotzdem alle gleich groß!

Erweitern
Multiplizieren wir Zähler und Nenner eines Bruches mit der gleichen Zahl, so ändert sich der Wert des Bruches nicht. Dies nennen wir erweitern.

Erweitern um 3: $\frac {1}{2}=\frac {1 \cdot 3}{2 \cdot 3}=\frac {3}{6}$

Kürzen
Dividieren wir Zähler und Nenner eines Bruches durch die gleichen Zahl, so ändert sich der Wert des Bruches ebenfalls nicht. Dies nennen wir kürzen.

Kürzen um 4: $\frac {4}{8}=\frac {4 : 4}{8 : 4}=\frac {1}{2}$

Wir können einen Bruch so lange kürzen, bis Zähler und Nenner teilerfremd sind. Kürzen wir den Bruch um den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner , so haben wir den Bruch in einem Schritt so weit wie möglich gekürzt.

 Brüche addieren und subtrahieren

Gleicher Nenner
Sollen zwei Brüche addiert werden, deren Nenner gleich sind, brauchen wir nur die Zähler zu addieren. Der Nenner verändert sich dabei nicht.

zwei viertel + ein viertel = drei viertel
$\frac{2}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $\frac{2+1}{4} = \frac{3}{4}$

Da beide Kreise in Viertel aufgeteilt waren, brauchten wir zu den zwei Vierteln lediglich ein weiteres Viertel hinzuzufügen.

Bei der Subtraktion verfahren wir entsprechend:

drei viertel - zwei viertel = ein viertel
$\frac{3}{4}$ - $\frac{2}{4}$ = $\frac{3-2}{4} = \frac{1}{4}$

Verschiedene Nenner
Haben zwei Brüche verschiedene Nenner, wird die Sache problematischer, wie das folgende Beispiel zeigt:

ein drittel + ein halb = ???
$\frac{1}{3}$ + $\frac{1}{2}$ = ???

Da beide Kreise unterschiedlich aufgeteilt sind, passen die Bruchstücke des einen Kreises nicht in den anderen. Wir müssen erst durch geschicktes Kürzen oder Erweitern beide Brüche auf einen gemeinsamen Nenner (Hauptnenner) bringen. Dann brauchen wir wieder nur die Zähler zu addieren:

zwei sechstel + drei sechstel = fünf sechstel
$\frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{2}{6}$ + $\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6}$ = $\frac{5}{6}$

Hauptnenner finden

Der einfachste Weg einen geeigneten Hauptnenner zu finden ist, den ersten Bruch mit dem Nenner des zweiten Bruchs und den zweiten Bruch mit dem Nenner des ersten Bruchs zu erweitern.
Beispiel:
$\frac{1}{3} +\frac{2}{5}=\frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} +\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3}=\frac{5}{15} +\frac{6}{15}$ $=\frac{5+6}{15}=\frac{11}{15}$

Anmerkung:
Der kleinst mögliche Hauptnenner ist das kleinste gemeinsamen Vielfache der beiden Nenner.

 Brüche multiplizieren

Regel:
Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner.

Beispiel (im letzten Schritt gekürzt):
$\frac{2}{7} \cdot \frac{3}{4}=\frac{2 \cdot 3}{7 \cdot 4}=\frac{6}{28}=\frac{3}{14}$

 Brüche dividieren

Regel:
Den geteilten Bruch mit dem Kehrwert des teilenden Bruchs multiplizieren.

Beispiel:
$\frac{2}{5} : \frac{3}{7}=\frac{2}{5} \cdot \frac{7}{3}=\frac{2 \cdot 7}{5 \cdot 3}=\frac{14}{15}$

 Unechte und gemischte Brüche

Mit unter kommt es vor, dass der Zähler eines Bruches größer ist, als sein Nenner.
Solche Brüche werden auch unechte Brüche genannt.

Beispiel: $\frac{3}{2}$

Statt $\frac{3}{2}$ könnten wir auch $1\frac{1}{2}$ (sprich: Eineinhalb) schreiben. Einen Bruch dem der (in unechten Brüchen immer vorhandenen) ganzzahlige Anteil vorangestellt ist, nennen wir gemischten Bruch.

Umwandlung: unechter Bruch - gemischter Bruch

Formel: $\frac{z}{n}~~~z : n = g ~~Rest~~ r~~~~~~g \frac{r}{n}$

Beispiel: $\frac{17}{5}~~~~~~17:5=3 ~~Rest~~ 2~~~~~~3 \frac{2}{5}$

Umwandlung: gemischter Bruch - unechter Bruch

Formel: $g \frac{z}{n} = \frac{g \cdot n + z}{n}$

Beispiel: $3 \frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 2}{5}=\frac{17}{5}$

 Umrechnung: Bruch -> Dezimalbruch

Dafür einfach die Division durchführen:

Beispiele:
$\frac{1}{2}=1:2=0,5~~~~\frac{1}{4}=1:4=0,25~~~~\frac{3}{5}=3:5=0,6$

Periodische Dezimalbrüche:

$\frac{1}{3} = 1: 3=0,333333...=0,\overline 3$
Richtig: "Null Komma Periode Drei"
Falsch: "Null Komma Drei Periode"

$\frac{6}{11} = 6: 11=0,545454...=0,\overline {54}$
"Null Komma Periode fünf vier"

$\frac{142}{275} = 142: 275=0,51636363...=0,51\overline {63}$
"Null Komma fünf eins Periode sechs drei"

Die folgenden Beispiele sollten Sie auswendig lernen:

$\frac{1}{2} = 0,5$

$\frac{1}{3} = 0, \overline 3$

$\frac{1}{4} = 0,25$

$\frac{3}{4} = 0,75$

$\frac{1}{5} = 0,2$

$\frac{1}{9} = 0, \overline 1$

$\frac{1}{10} = 0,1$

 Umrechnung: Dezimalbruch -> Bruch

Nicht periodische Dezimalbrüche

Arbeitsschritte:
1) Nachkommastellen des Dezimalbruchs zählen.
2) Stellen vor dem Komma ggf. als ganze Zahl voranstellen.
3) Nenner: Eine Eins mit so vielen Nullen, wie es Nachkommastellen gibt.
4) Zähler: Aus den Nachkommastellen bilden.
5) Den so entstandenen Bruch bei Bedarf kürzen.

Beispiele:

1) 16,75 Zwei Stellen hinter dem Komma
2) 16 vor den Bruch stellen
3) Nenner: 100
4) Zähler: 75
   $16 \frac{75}{100}$
5) Kürzen um 25.
   $16 \frac{3}{4}$

$0,5=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$

$17,5=17 \frac{5}{10}=17 \frac{1}{2}$

$0,25=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$

$3,25=3 \frac{25}{100}=3 \frac{1}{4}$

$0,025=\frac{25}{1000}=\frac{1}{40}$

$7,025=7 \frac{25}{1000}=3 \frac{1}{40}$

Periodische Dezimalbrüche

Arbeitsschritte:
1) Stellen der Periode zählen.
2) Stellen vor dem Komma ggf. als ganze Zahl voranstellen.
3) Nenner: Genau so viele Neunen, wie es periodische Stellen gibt.
4) Zähler: Eine Periode.
5) Den so entstandenen Bruch bei Bedarf kürzen.

Beispiele:

1) $7, \overline{12}$ Periode hat zwei Stellen
2) 7 vor den Bruch stellen
3) Nenner: 99
4) Zähler: 12
   $7 \frac{12}{99}$
5) Kürzen um 3
   $7 \frac{4}{33}$

$0, \overline 6=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$

$15, \overline 6=15 \frac{6}{9}=15 \frac{2}{3}$

$0, \overline {18}=\frac{18}{99}=\frac{2}{11}$

$0, \overline {142857}=\frac{142857}{999999}=\frac{1}{7}$

Periode beginnt nicht genau hinter dem Komma

Beispiel:
$0,51 \overline {63}=0,51 + 0,00 \overline {63}=\frac{51}{100} + \frac{1}{100} \cdot \frac{63}{99}=$ $\frac{5112}{9900}=\frac{142}{275}$