3. Dividieren natürlicher Zahlen

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Inhalt

Lernpfad

Lehrbuch
Natürliche Zahlen
Division mit Rest
Teilbarkeitsregeln
Komplementärteiler
Teilermenge
Primzahlen
Primfaktorzerlegung
Größter gemeinsamer Teiler
Teilerfremde Zahlen
Kleinstes gemeinsames Vielfaches
Aufgaben

  Natürliche Zahlen

Als natürliche Zahlen bezeichnen wir die Zahlen, die wir für den Vorgang des Zählens verwenden.

Eine Verkäuferin zählt die Smartphones, im Lager des Geschäftes.
Da gibt es keine halben Sachen! Ein halbes Smartphone ist einfach nur wertloser Elektronikschrott.
Sie zählt also: $ ~1, 2, 3 ...~$ bis zum Ende.

In der Mathematik fassen wir die natürlichen Zahlen zu einer Menge zusammen: $$\mathbb{N}=\{1; 2; 3; 4; 5; 6; ...\}$$ Eine größte natürliche Zahl gibt es nicht. Bezeichnen wir die 5 als größte natürliche Zahl, so brauchen wir nur 1 zu addieren und erhalten mit der 6 die nächst größere.

Es gibt also unendlich viele natürliche Zahlen.

  Division mit Rest

Teilen wir eine natürliche Zahl durch eine andere natürliche Zahl, so kann die Division aufgehen oder auch nicht.

Die Division geht auf, wenn sie ein natürliches Ergebnis hat.

Beispiel:

Wir möchten Smartphones gleichmäßig auf Verkaufsregale verteilen. Die Division $$8 : 2 = 4$$ geht auf.

Auf jedes Regal kommen 4 Smartphones. Die Division $$7 : 2 = 3,5$$ geht nicht auf.

Leider können wir mit 3,5 Smartphones wenig anfangen. Es ist sicher nicht verkaufsfördernd, neben die 3 intakten Geräte noch zwei Häufchen Elektronikschrott zu legen.

Es bleibt als ein Smartphon als nicht verteilbarer Rest übrig.

Wir schreiben deshalb: $$7 : 2 = 3 ~Rest~ 1$$.

Beispiele für Divisionen mit und ohne Rest:
$6 : 3 = 2$
$7 : 3 = 2 ~~Rest~~1$
$8 : 3 = 2 ~~Rest~~2$
$9 : 3 = 3 $

Eine Division geht auf, wenn sie keinen Rest hat.

In diesem Abschnitt geht es nur um das Rechnen mit natürlichen Zahlen.

  Teilbarkeitsregeln

Eine natürliche Zahl ist durch eine andere natürliche Zahl teilbar, wenn die Division aufgeht. Im folgenden ein paar einfache Regeln, an denen wir erkennen können, ob eine Division aufgeht.

Durch 2
Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die letzte Ziffer durch 2 teilbar ist.
Beispiele:
12346 ist durch 2 teilbar, weil 6 durch 2 teilbar ist.
12345 ist nicht durch 2 teilbar, weil 5 nicht durch 2 teilbar ist.

Durch 3
Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.
Beispiele:
12345 ist durch 3 teilbar, weil 1+2+3+4+5=15 durch 3 teilbar ist.
12346 ist nicht durch 3 teilbar, weil 1+2+3+4+6=16 nicht durch 3 teilbar ist.

Durch 4
Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die letzten beiden Ziffern durch 4 teilbar sind.
Beispiele:
3712 ist durch 4 teilbar, weil 12 durch 4 teilbar ist.
3722 ist nicht durch 4 teilbar, weil 22 nicht durch 4 teilbar ist.

Durch 5
Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer 0 oder 5 ist.
Beispiele:
12345 ist durch 5 teilbar, weil 5 die letzte Ziffer ist.
12346 ist nicht durch 5 teilbar, weil die letzte Ziffer keine 5 und keine 0 ist.

Durch 6
Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 (siehe oben) und durch 3 (siehe oben) teilbar ist.

Durch 7
Diese Regel ist etwas kompliziert und wird deshalb hier nicht behandelt.

Durch 8
Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die letzten drei Ziffern durch 8 teilbar sind.
Beispiele:
77048 ist durch 8 teilbar, weil 048 durch 8 teilbar ist.
77148 ist nicht durch 8 teilbar, weil 148 nicht durch 8 teilbar ist.

Durch 9
Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.
Beispiele:
10008 ist durch 9 teilbar, weil 1+0+0+0+8=9 durch 9 teilbar ist.
10108 ist nicht durch 9 teilbar, weil 1+0+1+0+8=10 nicht durch 9 teilbar ist.

Durch 10
Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn die letzte Ziffer 0 ist.

  Komplementärteiler

Was Komplementärteiler sind, läßt sich an einem Beispiel zeigen:

$$24 : 4 = 6$$ Die 24 ist durch 4 teilbar.

Weil das Ergebnis von 24 durch 4 aber 6 ist, ist die 24 auch durch 6 teilbar: $$24 : 6 = 4$$ Die 4 und die 6 sind beim Teilen der 24 sozusagen Partner
oder anders gesagt: Komplementärteiler.

  Teilermenge

Durch welche Zahlen ist die 27 teilbar?

Probieren wir es aus und fangen wir mit der 1 an. Das ist sehr einfach, denn die 1 ist beim Dividieren neutral, also ist jede Zahl durch 1 teilbar.

Dadurch kennen wir aber auch den Komplementärteiler: $$27 : 1 = 27$$ Nun können wir anfangen, die noch unvollständige Teilermenge aufzuschreiben:

$$T_{27}=\{1;...27\}$$ Probieren wir weiter. Die 2 ist kein Teiler, aber die 3! Also auch $27 : 3 = 9$. Nun sieht die Teilermenge so aus:

$$T_{27}=\{1;3;...9;27\}$$ Die 5, 6, 7 und 8 sind keine Teiler, aber die 9. Da wir die schon haben, können wir sicher sein, alle Teiler gefunden zu haben. Die Teilermenge ist also vollständig:

$$T_{27}=\{1;3;9;27\}$$

  Primzahlen

Schauen wir uns die Teilermengen der ersten 20 natürlichen Zahlen an:

$$ \begin{array}{lllllll} T_1&=&\{1\}&~~~~&T_{11}&=&\{1;11\}\\ T_2&=&\{1;2\}&~~~~&T_{12}&=&\{1;2;3;4;6;12\}\\ T_3&=&\{1;3\}&~~~~&T_{13}&=&\{1;13\}\\ T_4&=&\{1;2;4\}&~~~~&T_{14}&=&\{1;2;7;14\}\\ T_5&=&\{1;5\}&~~~~&T_{15}&=&\{1;3;5;15\}\\ T_6&=&\{1;2;3;6\}&~~~~&T_{16}&=&\{1;2;4;8;16\}\\ T_7&=&\{1;7\}&~~~~&T_{17}&=&\{1;17\}\\ T_8&=&\{1;2;4;8\}&~~~~&T_{18}&=&\{1;2;3;6;9;18\}\\ T_9&=&\{1;3;9\}&~~~~&T_{19}&=&\{1;19\}\\ T_{10}&=&\{1;2;5;10\}&~~~~&T_{20}&=&\{1;2;4;5;10;20\}\\ \end{array} $$ Wenn wir die Elemente zählen, die sich in der Teilermenge befinden, stellen wir fest, dass es immer wieder natürliche Zahlen gibt, die genau zwei Teiler haben:

Die eins und als Komplementärteiler sich selbst.

Natürliche Zahlen, die genau zwei Teiler haben heißen Primzahlen.

Wichtig!

Die 1 hat nur einen Teiler (also nicht genau zwei) und ist daher keine Primzahl!

  Primfaktorzerlegung

Eine wichtige mathematische Erkenntnis (Hauptsatz der Zahlentheorie) lautet:

„Jede natürliche Zahl, die größer ist als eins und selbst keine Primzahl ist, kann als Produkt von Primzahlen dargestellt werden.“



Probieren wir das mit der 42 aus. Wir teilen die 42 so lange durch die kleinste Primzahl, wie es möglich ist. Dann teilen wir den Rest so oft wie möglich durch die nächst größere Primzahl. Das machen wir so oft, bis nur noch ein Produkt aus Primzahlen übrig bleibt: $$\begin{array}{r|r} 42&2\\ 21&3\\ 7&7\\ 1&~\\ \end{array}$$ $$ \begin{array}{rcl} 42&=&2 \cdot 3 \cdot 7\\ \end{array} $$ Die Zahlen 2, 3 und 7 sind Primzahlen und können nicht mehr weiter zerlegt werden.

Weitere Beispiele: $$\begin{array}{r|r} 252&2\\ 126&2\\ 63&3\\ 21&3\\ 7&7\\ 1&~\\ \end{array}$$ $$ \begin{array}{rcrcrcrcrcr} 252&=&2&\cdot&2&\cdot&3&\cdot&3&\cdot&7\\ \end{array} $$ und $$\begin{array}{r|r} 90&2\\ 45&3\\ 15&3\\ 5&5\\ 1&~\\ \end{array}$$ $$ \begin{array}{rcrcrcrcr} 90&=&2&\cdot&3&\cdot&3&\cdot&5\\ \end{array} $$

  Größter gemeinsamer Teiler

Den größten gemeinsamen Teiler finden wir, indem wir die Teilermengen vergleichen.

Beispiel:
Wir suchen den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 252 und 90.

$T_{252}=\{1;2;3;4;6;7;9;12;14;\color{blue}{18};21;28;36;42;63;84;126;252\}$

$T_{90~~}=\{1;2;3;5;6;9;10;15;\color{blue}{18};30;45;90\}$

Der größte gemeinsame Teiler von 252 und 90 ist die 18. In mathematischer Schreibweise ausgedrückt:
$$ggT(252;90)=18$$ Dieses Verfahren ist etwas mühsam, da wir für $T_{252}$ und $T_{90}$ insgesamt 30 Teiler ($18 + 12$) bestimmen mussten.

Über die Primfaktorzerlegung geht es einfacher:

Wir multiplizieren alle Primfaktoren der ersten Zahl, wenn sie auch Primfaktoren der zweiten Zahl sind (blau): $$ \begin{array}{r|rcr|r} 252&\color{blue}2&~~&90&\color{blue}2\\ 126&2&~~&45&\color{blue}3\\ 63&\color{blue}3&~~&15&\color{blue}3\\ 21&\color{blue}3&~~&5&5\\ 7&7&~~&1&~\\ 1&~&~~&~&~\\ \end{array} $$ Gemeinsame Primfaktoren: Einmal 2 und zweimal 3. Wir rechnen: $$ \begin{array}{rcrcrcrcrcr} 2&\cdot&3&\cdot&3&=&18 \end{array} $$ Gibt es keine gemeinsamen Primfaktoren, so ist der größte gemeinsame Teiler gleich eins.

Noch einfacher geht es mit dem Verahren von Euklid: $$ \begin{array}{rrrrrrr} 252&:&\color{red}{90}&=&2&Rest&\color{green}{72}\\ \color{red}{90}&:&\color{green}{72}&=&1&Rest&\color{blue}{18}\\ \color{green}{72}&:&\color{blue}{18}&=&4&Rest&0\\ \end{array} $$ Erste Zeile: Wir teilen die größere der beiden Zahlen durch die kleinere.
Zweite Zeile: Wir teilen den Teiler aus der vorherigen Zeile durch den Rest der vorherigen Zeile.
Weitere Zeilen: Das wiederholen wir so lange, bis der Rest null ergibt.

Der letzte Rest, der nicht null war ist der größte gemeinsame Teiler.

  Teilerfremde Zahlen

Ist der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen die 1, so nennen wir diese Zahlen teilerfremd.

Beispiel:

Die Zahlen 15 und 14 sind teilerfremd, denn $$ggT(15;14)=1$$ wie der Vergleich der Teilermengen zeigt: $$\begin{array}{rrr} T_{15}&=&\{\color{blue}1;3;5;15\}\\ T_{14}&=&\{\color{blue}1;2;7;14\}\\ \end{array}$$ oder die Primfaktorzerlegung: $$ \begin{array}{r|rcr|r} 15&3&~~&14&2\\ 5&5&~~&7&7\\ 1&~&~~&1&~\\ \end{array} $$ Keine gemeinsamen Primfaktoren, also $ggT(15;14)=1$

oder das Verfahren von Euklid: $$ \begin{array}{rrrrrrr} 15&:&\color{red}{14}&=&1&Rest&\color{blue}{1}\\ \color{red}{14}&:&\color{blue}{1}&=&14&Rest&0\\ \end{array} $$

  Kleinstes gemeinsames Vielfaches

Anstelle von Teilermengen, können wir auch die Menge der Vielfachen einer natürlichen Zahl bilden.

$ \begin{array}{lll} V_{30}&=&\{30;60;90;120;150;\color{blue}{180};210;...\}&\\ \end{array} $ immer 30 addieren.

$ \begin{array}{lll} V_{36}&=&\{36;72;108;144;\color{blue}{180};216;...\}&\\ \end{array} $ immer 36 addieren.

Wie wir sehen enthält die Menge der Vielfachen im Gegensatz zur Teilermenge unendlich viele Elemente.

Das kleinste gemeinsame Vielfache von 36 und 30 ist die 180. Mathematisch ausgedrückt: $$kgV(36;30)=180$$ Berechnung über die Primfaktorzerlegung:

Wir multiplizieren alle Primfaktoren der ersten Zahl mit allen Primfaktoren der zweiten Zahl. Von den doppelt vorkommenden Primfaktoren (rot) nehmen wir jeweils nur einen. $$ \begin{array}{r|rcr|r} 36&2&~~&30&\color{red}2\\ 18&2&~~&15&\color{red}3\\ 9&3&~~&5&5\\ 3&3&~~&1&~\\ 1&~&~~&1&~\\ \end{array} $$ $$ 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 180 $$ Wir können das kleinste gemeinsame Vielfache auch recht einfach nach folgender Formel berechnen: $$kgV(a;b)=\frac{a \cdot b}{ggT(a;b)}$$ Beispiel:

$$kgV(36;30)=\frac{36 \cdot 30}{ggT(36;30)}$$
$$kgV(36;30)=\frac{1080}{6}$$
$$kgV(36;30)=180$$

  Aufgaben

PDF-Dokument mit Übungen zum größten gemeinsamen Teiler und kleinsten gemeinsamen Vielfachen. Zur Kontrolle der eigenen Leistung sind die Ergebnisse angegeben.