2. Potenzen & Wurzeln - Einführung

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Inhalt

Lernpfad

Lehrbuch
Potenzen
Wurzeln
Wurzeln und Vorzeichen
Aufgaben
Lösungen

  Potenzen

Definition: $\underbrace {a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a}_{n~Faktoren} = a^n $

$a^n$ (lies: "a hoch n"), a ist die Basis, n ist der Exponent

Verb: "Potenzieren", bei hoch 2 auch: "Quadrieren".

Beispiele: $5^2=5 \cdot 5=25~~~~~2^{10} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 1024$

Die Potenz ist nicht kommutativ, das Kommutativgesetz gilt hier nicht:
$a^b \not = b^a$
Beispiel: $3^2=3 \cdot 3=9$ aber $2^3=2 \cdot 2 \cdot2=8$

Besondere Sprechweise: Statt "x hoch 2" sagen wir in der Regel "x Quadrat".
Statt "x hoch 3" wird gelegentlich "x Kubik" gesagt.

Die Quadratzahlen in der folgenden Tabelle sollten Sie auswendig lernen:

$0^2=~~0$$1^2=~~1$$2^2=~~4$$3^2=~~9$$4^2=~16$
$5^2=~25$$6^2=~36$$7^2=~49$$8^2=~64$$9^2=~81$
$10^2=100$$11^2=121$$12^2=144$$13^2=169$$14^2=196$
$15^2=225$$16^2=256$$17^2=289$$18^2=324$$19^2=361$
$20^2=400$

  Wurzeln

Definition: $\sqrt[n]{b} = w$   wenn:   $w^n = b$

$\sqrt[n]{b}$ (lies: n-te Wurzel aus b)

Verb: "Wurzel ziehen", "Ich ziehe die dritte Wurzel aus 125"

Beispiele: $\sqrt[2]{144} = 12~~~~ \sqrt[3]{8} = 2$

Besondere Sprechweise: Statt "zweiter Wurzel" sagen wir in der Regel "Quadratwurzel". Statt "dritter Wurzel" wird gelegentlich "Kubikwurzel" gesagt.

Besondere Schreibweise: Bei Quadratwurzeln darf die 2 weggelassen werden.
Beispiel: $\sqrt[2]{64}=8$   oder   $\sqrt{64}=8$

Potenzen und Wurzeln können sich gegenseitig aufheben: Bei gleichem Exponenten heben sich Potenzen und Wurzeln gegenseitig auf. Umkehrrechnung.

$\sqrt[n]{a^n}=a$   oder  $\left(\sqrt[n]{a} \right)^n=a$

Beispiel:

$\sqrt[9]{2^9}=2$   oder  $\left(\sqrt[9]{2} \right)^9=2$
Ausgerechnet:
$2^9=512$    $\sqrt[9]{512}=2$      $\sqrt[9]{2}=1,0800597389...$    $1,0800597389...^9=2$

  Wurzeln und Vorzeichen

Wurzeln aus negativen Zahlen
Wurzeln aus negativen Zahlen können wir ziehen, wenn der Exponent ungerade ist. Beispiel:

$\sqrt [3]{-8} = -2$

Wir können sie dagegen nicht ziehen, wenn der Exponent gerade ist. Beispiel:

Die Aufgabe $\sqrt [2]{-4} = ???$ können wir nicht lösen.

Warum das so ist, können Sie erst verstehen, wenn wir Kapitel 8 „Vorzeichen- und Klammerregeln“ durchgenommen haben. Bis dahin nehmen Sie diese Tatsache erst einmal hin.

Wir schreiben statt dessen: $\sqrt [2]{-4} = keine~reelle~Lösung$

Wurzeln mit negativen Ergebnissen
Wurzeln mit geradem Exponenten haben immer zwei Ergebnisse, ein positives und ein negatives! Beispiel:

$\sqrt {25} = \pm 5$ also: $\sqrt {25} = 5$ oder $\sqrt {25} = -5$

Nehmen Sie auch das erst einmal hin. Kapitel 8 wird auch hier Klärung bringen.

In den meisten Fällen brauchen wir das negative Ergebnis nicht zu beachten und verwenden nur das positive.
In Gleichungen oder bei der Verwendung von Koordinatenkreuzen kann dagegen auch das negative Ergebnis von Belang sein.

Bei Wurzeln mit ungeraden Exponenten hat das Ergebnis immer das gleiche Vorzeichen wie die Zahl, aus der die Wurzel gezogen wurde. Beispiele:

$\sqrt[3]{8} = 2~~~~~~~~~\sqrt[3]{-8} = -2$

  Aufgaben

Potenzen ganzer Zahlen
$$\begin{matrix} 1)~&2^2&=&~\\ 2)~&3^2&=&~\\ 3)~&4^2&=&~\\ 4)~&5^2&=&~\\ 5)~&6^2&=&~\\ 7)~&7^2&=&~\\ 8)~&8^2&=&~\\ 9)~&9^2&=&~\\ 10)~&10^2&=&~\\ 11)~&11^2&=&~\\ 12)~&12^2&=&~\\ 13)~&2^3&=&~\\ 14)~&3^3&=&~\\ 15)~&4^3&=&~\\ 16)~&5^3&=&~\\ 17)~&2^5&=&~\\ 18)~&2^{10}&=&~\\ 19)~&8^3&=&~\\ 20)~&3^8&=&~\\ \end{matrix}$$ Wurzeln
$$\begin{matrix} 1)~&\sqrt{9}&=&\\ 2)~&\sqrt{25}&=&\\ 3)~&\sqrt{-9}&=&\\ 4)~&\sqrt[3]{27}&=&\\ 5)~&\sqrt[3]{8}&=& \\ 6)~&\sqrt[3]{125}&=&\\ 7)~&\sqrt[3]{-27}&=&\\ 8)~&\sqrt[3]{-8}&=& \\ 9)~&\sqrt[3]{-125}&=&\\ 10)~&\sqrt[4]{16}&=&\\ 11)~&\sqrt[4]{-16}&=&\\ 12)~&\sqrt[4]{81}&=&\\ 13)~&\sqrt[4]{-81}&=&\\ 14)~&\sqrt[9]{-512}&=&\\ 15)~&\sqrt[10]{-1024}&=&\\ 16)~&\sqrt[9]{512}&=&\\ 17)~&\sqrt[10]{1024}&=&\\ 18)~&\sqrt[3]{-1}&=&\\ 19)~&\sqrt[4]{-1}&=&\\ 20)~&\sqrt{0}&=&\\ \end{matrix}$$

  Lösungen

Potenzen ganzer Zahlen
$$\begin{matrix} 1)~&2^2&=&4\\ 2)~&3^2&=&9\\ 3)~&4^2&=&16\\ 4)~&5^2&=&25\\ 5)~&6^2&=&36\\ 7)~&7^2&=&49\\ 8)~&8^2&=&64\\ 9)~&9^2&=&81\\ 10)~&10^2&=&100\\ 11)~&11^2&=&121\\ 12)~&12^2&=&144\\ 13)~&2^3&=&8\\ 14)~&3^3&=&27\\ 15)~&4^3&=&64\\ 16)~&5^3&=&125\\ 17)~&2^5&=&32\\ 18)~&2^{10}&=&1024\\ 19)~&8^3&=&512\\ 20)~&3^8&=&6561\\ \end{matrix}$$ Wurzeln
$$\begin{matrix} 1)~&\sqrt{9}&=&\pm 3\\ 2)~&\sqrt{25}&=&\pm 5\\ 3)~&\sqrt{-9}&=&keine~reelle~Lösung\\ 4)~&\sqrt[3]{27}&=& 3\\ 5)~&\sqrt[3]{8}&=& 2\\ 6)~&\sqrt[3]{125}&=&5\\ 7)~&\sqrt[3]{-27}&=& -3\\ 8)~&\sqrt[3]{-8}&=& -2\\ 9)~&\sqrt[3]{-125}&=&-5\\ 10)~&\sqrt[4]{16}&=&\pm 4\\ 11)~&\sqrt[4]{-16}&=&keine~reelle~Lösung\\ 12)~&\sqrt[4]{81}&=&\pm 3\\ 13)~&\sqrt[4]{-81}&=&keine~reelle~Lösung\\ 14)~&\sqrt[9]{-512}&=&-2\\ 15)~&\sqrt[10]{-1024}&=&keine~reelle~Lösung\\ 16)~&\sqrt[9]{512}&=&2\\ 17)~&\sqrt[10]{1024}&=&2\\ 18)~&\sqrt[3]{-1}&=&-1\\ 19)~&\sqrt[4]{-1}&=&keine~reelle~Lösung\\ 20)~&\sqrt{0}&=&0\\ \end{matrix}$$