20. Allgemeine Trigonometrie

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Inhalt

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Sagt mein Taschenrechner die Wahrheit?
Kosinussatz Grundlagen
Kosinussatz Anwendungen 1
Kosinussatz Anwendungen 2
Kosinussatz Anwendungen 3
Sinussatz Grundlagen
Sinussatz Anwendungen
Kosinussatz Herleitung
Aufgaben

  Sagt mein Taschenrechner die Wahrheit?

Sinus und Kosinus sind periodisch

Im folgenden Diagramm sind die Sinus- und Kosinuswerte eingezeichnet. Auf der waagerechten Achse können wir die Winkel ablesen, auf der senkrechten die Sinus- und Kosinuswerte.

Beide Kurven sind periodisch und schwingen im Prinzip auch für Winkel über 360° weiter. Aufgrund der Periodizität finden Wiederholungen statt. So hat der Sinus von 30° den Wert 0,5. Allerdings hat den Sinus von 150° den gleichen Wert (siehe Diagramm).

Was meinen die Taschenrechner dazu?

Suchen wir zu einem Winkel den Sinuswert, gibt es noch kein Problem:
$$sin(30)=0,5$$ $$sin(150)=0,5$$ Beide Winkel haben den gleichen Sinuswert.

Suchen wir dagegen zu einem Sinuswert den passenden Winkel, geben uns die Taschenrechner lediglich die kleinsten Winkel zurück.
In unserem Beispiel:
$$sin^{-1}(0,5)=30$$ Die ebenfalls möglichen 150° werden uns verschwiegen. Der Taschenrechner sagt uns also nicht unbedingt die volle Wahrheit.

Wann spielt das eine Rolle?

Da die Winkelsumme im Dreieck stets 180° beträgt, müssen in einem rechtwinkligen Dreieck die beiden Winkel zwischen Katheten und Hypotenuse kleiner sein als 90°. In einem beliebigen Dreieck muss jeder der drei Winkel kleiner als 180° sein.

Betrachten wir die farblichen Hinterlegungen des Diagramms, fällt auf, dass in rechtwinkligen Dreiecken (roter Bereich) Sinus und Kosinus stets eindeutige Winkel zurückgeben. Aus diesem Grund haben wir dieses Problem in Kapitel 19 auch nicht behandelt.

In beliebigen Dreiecken (roter und blauer Bereich) sieht das anders aus. Die Kosinuskurve liefert in diesem Bereich zu jedem Kosinuswert einen eindeutigen Winkel zurück. Sie macht uns also keine Probleme.

Die Sinuskurve liefert in diesem Bereich dagegen zu jedem Sinuswert zwei Winkel zurück. Einzige Ausnahme: $sin^{-1}(1)=90$ gilt immer.

  Kosinussatz Grundlagen

Der Kosinussatz gilt nicht nur für rechtwinklige, sondern für alle Dreiecke. Er lautet:



$$\color{red}{a^2}=b^2+c^2-2 \cdot b \cdot c \cdot cos(\color{red}{\alpha})$$ $$\color{green}{b^2}=a^2+c^2-2 \cdot a \cdot c \cdot cos(\color{green}{\beta})$$ $$\color{blue}{c^2}=a^2+b^2-2 \cdot a \cdot b \cdot cos(\color{blue}{\gamma})$$ Tipp: Vergleichen Sie die Farben in der Zeichnung mit den Farben in den Formeln. Erkennen Sie das Prinzip? Entscheidend ist nicht, wie eine Seite oder ein Winkel heißt, sondern welche Seiten den Winkel bilden (in den Formeln schwarz) und welche Seite dem Winkel gegenüber liegt (in den Formeln rot, grün oder blau).

Wenn Sie sich das klar machen, haben Sie keine Schwierigkeiten, wenn die Seiten mal nicht a, b oder c heißen, sondern auf eine andere Weise benannt sind.

  Kosinussatz Anwendungen 1

Gegenüberliegende Seite gesucht

Beispiel:

$a = ?$
$b = 5 cm$
$c = 7 cm$
$\alpha = 15°$

Zeichnung (schwarz: gegebene Größen, rot: gesuchte Größe)


Werte in die Formel einsetzen und ausrechnen:

$a^2 = 5^2+7^2-2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot cos(15°)$

$a^2 = 25+49-70 \cdot cos(15°)$

$a^2 = 74-70 \cdot cos(15°)$ Warnung! Siehe unten.

$a^2 = 74-70 \cdot 0,9659$

$a^2 = 74-67,615$

$a^2=6,385 | \sqrt{~}$

$a \approx 2,5$

Erläuterung zur Warnung: Verlockend wäre es an dieser Stelle $74-70=4$ zu rechnen. Machen Sie sich klar, dass das ein Verstoß gegen die Punkt-vor-Strich Regel wäre.
Diesen Irrtum habe ich beim Korrigieren so oft gesehen, dass ich an dieser Stelle ausdrücklich auf diese Fehlerquelle hinweisen möchte.

  Kosinussatz Anwendungen 2

Winkel gesucht

Beispiel:

$a = 5 cm$
$b = 6 cm$
$c = 7 cm$
$\alpha = ~?$

Zeichnung (schwarz: gegebene Größen, rot: gesuchte Größe)


Werte in die Formel einsetzen und ausrechnen:

$5^2=6^2+7^2-2 \cdot 6 \cdot 7 \cdot cos(\alpha)$

$25=36+49-84 \cdot cos(\alpha)$

$25=85-84 \cdot cos(\alpha) | -85$

$-60=-84 \cdot cos(\alpha) | :(-84)$

$0,7143=cos(\alpha)$

$cos^{-1}(0,7143)=\alpha$

$44° \approx \alpha$

Da die Kosinuskurve im Bereich: 0° bis 180° keine Periodizität aufweist (siehe: "Sagt mein Taschenrechner die Wahrheit?"), ist dieser Winkel richtig.

  Kosinussatz Anwendungen 3

Eine der Seiten gesucht, die den Winkel bilden

Beispiel 1:

Seite c gesucht
$a = 4 cm$
$b = 6 cm$
$c = ~?$
$\alpha = 35°$

Zeichnung (schwarz: gegebene Größen, rot: gesuchte Größe)


Werte in die Formel einsetzen und ausrechnen:
$4^2=6^2+c^2-2 \cdot 6 \cdot c \cdot cos(35°)$

$16=36+c^2-9,8298 c$

$0=c^2 - 9,8298 c +20 | pq$

$c_{1;2}= - \frac{-9,8298}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-9,8298}{2} \right)^2 -20}$

$c_{1;2}= 4,9149 \pm \sqrt{\left(-4,9149\right)^2 -20}$

$c_{1;2}= 4,9149 \pm \sqrt{4,1562}$

$c_{1;2}= 4,9149 \pm 2,0387$

$c_{1} \approx 7,0$

$c_{2} \approx 2,9$

Wir erhalten (wie so oft bei der Verwendung der pq-Formel) zwei Ergebnisse und beide sind positiv! Aber welches ist denn nun richtig?

Tatsächlich sind beide Ergebnisse richtig, wie die folgende Zeichnung zeigt:


Die Winkel $\beta$ und $\gamma$ wurden in der Aufgabe nicht festgelegt. Wir können die Ecke C daher als Scharnier auffassen, um das wir die Seite a drehen können.

Wir erhalten so zwei Möglichkeiten die 4 cm lange Seite a im Dreieck unterzubringen. Es ist also auch in diesem Fall sinnvoll, dass uns die pq-Formel zwei Resultate liefert!

Beispiel 2:

$a = 8 cm$
$b = 6 cm$
$c = ~?$
$\alpha = 60°$

Zeichnung (schwarz: gegebene Größen, rot: gesuchte Größe)


Werte in die Formel einsetzen und ausrechnen:
$8^2=6^2+c^2-2 \cdot 6 \cdot c \cdot cos(60°)$

$64=36+c^2-6 c$

$0=c^2 - 6 c -36 | pq$

$c_{1;2}= - \frac{-6}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-6}{2} \right)^2 +36}$

$c_{1;2}= 3 \pm \sqrt{\left(-3\right)^2 +36}$

$c_{1;2}= 3 \pm \sqrt{45}$

$c_{1;2}= 3 \pm 6,7082$

$c_{1} \approx 9,7$

$c_{2} \approx -3,7$

Nun ist auch noch ein Ergebnis negativ! Was soll das schon wieder?

Auch hier sind beide Ergebnisse richtig, wie die folgende Zeichnung zeigt:


Das negative Ergebnis zeigt in die andere (negative) Richtung.

Beispiel 3:

$a = 4 cm$
$b = 6 cm$
$c = ~?$
$\alpha = 60°$

Zeichnung (schwarz: gegebene Größen, rot: gesuchte Größe)

Hier zeigt schon die Zeichnung: Wie auch immer wir Seite a um Ecke C drehen, a ist einfach zu kurz und erreicht Seite c überhaupt nicht. Somit gibt es keine „korrekte Länge“ für c. Mal sehen, wie sich das rechnerisch zeigt:

Setzen wir die Werte in die Formel ein und versuchen die „korrekte Länge“ auszurechnen:
$4^2=6^2+c^2-2 \cdot 6 \cdot c \cdot cos(60°)$

$16=36+c^2-6 c$

$0=c^2 - 6 c +20 | pq$

$c_{1;2}= - \frac{-6}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{-6}{2} \right)^2 -20}$

$c_{1;2}= 3 \pm \sqrt{\left(-3\right)^2 -20}$

$c_{1;2}= 3 \pm \sqrt{-11}$

An dieser Stelle müssen wir die Berechnung abschließen, da es keine reelle Lösung unserer Gleichung gibt.

Wenn es keine „korrekte Länge“ gibt, können wir auch keine ausrechnen!

  Sinussatz Grundlagen

Der Sinussatz gilt ebenfalls nicht nur für rechtwinklige, sondern für alle Dreiecke. Er lautet:


$$\color{red}{\frac{a}{sin(\alpha)}}=\color{green}{\frac{b}{sin(\beta)}}= \color{blue}{\frac{c}{sin(\gamma)}}$$
Tipp 1: Erkennen Sie auch hier das Prinzip, wie Seiten und Winkel im Dreieck und in den Brüchen der Formel gegenüberstehen.

Tipp 2: In den seltensten Fällen benötigen wir alle drei Brüche der Formel und verwenden daher kürzere Formeln mit nur zwei Brüchen:

$\frac{a}{sin(\alpha)}=\frac{b}{sin(\beta)}\color{#BBBBBB}{=\frac{c}{sin(\gamma)}}$

oder

$\frac{a}{sin(\alpha)}\color{#BBBBBB}{=\frac{b}{sin(\beta)}}=\frac{c}{sin(\gamma)}$

oder

$\color{#BBBBBB}{\frac{a}{sin(\alpha)}=}\frac{b}{sin(\beta)}=\frac{c}{sin(\gamma)}$

  Sinussatz Anwendungen

Seite gesucht

Um mit dem Sinussatz die Länge einer Seite eines Dreiecks zu berechnen, müssen folgende Größen bekannt sein:

1) Der Winkel der der gesuchten Seite gegenüberliegt
2) Die Länge einer anderen Seite und deren gegenüberliegender Winkel

Beispiel:

$\alpha = 20°$
$a = 15 cm$
$\gamma = 30°$
$c$ gesucht

Wir setzen in den Sinussatz ein:

$\dfrac{15}{sin(20°)}=\dfrac{c}{sin(30°)}$

$43,8571 = \dfrac{c}{0,5}~|~\cdot 0,5$

$21,9 \approx c$

Seite c ist etwa 21,9 cm lang.

  Kosinussatz Herleitung

Vorbemerkung
Dieser Abschnitt ist für alle gedacht, die etwas hinter die Kullissen schauen möchten. Für den Realschulabschluss ist die Fähigkeit die pq-Formel zu beweisen nicht erforderlich. Das bedeutet nicht, dass dieses Wissen unnötig ist!

Herleitung
Wir suchen einen Satz, in dem der Kosinus eines Winkels auch in nicht rechtwinkligen Dreiecken verwendbar ist.

Dazu schauen wir uns ein beliebiges Dreieck an und teilen es durch die Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke auf.



Nun gilt für den Kosinus des Winkels $\alpha$: $$cos(\alpha) = \frac{c_b}{b}$$ Betrachten wir die beiden Teildreiecke mit dem Satz des Pythagoras, so gilt: $$\begin{array}{rcl} h_c^2 & = & b^2 - c_b^2\\ h_c^2 & = & a^2 - (c - c_b)^2 \end{array}$$ Wir setzen gleich und lösen nach $c_b$ auf: $$\begin{array}{rcll} b^2 - c_b^2& = & a^2 - (c - c_b)^2&| ~TU~rechts\\ b^2 - c_b^2& = & a^2 - (c^2 - 2 c c_b + c_b^2)&| ~TU~rechts\\ b^2 - c_b^2& = & a^2 - c^2 + 2 c c_b - c_b^2&| ~+ c_b^2\\ b^2 & = & a^2 - c^2 + 2 c c_b&| ~-a^2\\ b^2 -a^2& = & - c^2 + 2 c c_b&| ~+c^2\\ b^2 -a^2 + c^2& = &2 c c_b&| ~: 2c\\ \frac{b^2 -a^2 + c^2}{2c}& = &c_b& ~ \end{array}$$ Nun ersetzen wir $c_b$ in der ersten Gleichung und lösen nach $a^2$ auf: $$\begin{array}{rcll} cos(\alpha)& = & \frac{c_b}{b}&| ~c_b = \frac{b^2 -a^2 + c^2}{2c}\\ cos(\alpha)& = & \frac{b^2 -a^2 + c^2}{2bc}&| ~\cdot 2 b c\\ 2 bc \cdot cos(\alpha)& = & b^2 -a^2 + c^2&| ~-2 bc \cdot cos(\alpha) \\ 0 &= & b^2 -a^2 + c^2 -2 bc \cdot cos(\alpha) &| ~+a^2 \\ a^2 &= & b^2 + c^2 -2 bc \cdot cos(\alpha) &~ \end{array}$$ Wir erhalten den Kosinussatz in seiner bekannten Form. Für $b^2$ und $c^2$ verfahren wir entsprechend.