20. Aufgaben: Allgemeine Trigonometrie

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Gegenüberliegende Seite mit dem Kosinussatz berechnen
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Winkel mit dem Kosinussatz bestimmen
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Fehlende Seiten mit dem Sinussatz bestimmen
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  Textaufgaben

Übersicht
Aufg. 1 

Aufgabe 1
Die Spitze eines Turmes wird von zwei Punkten (A und B) aus angepeilt. Punkt B ist 50m weiter vom Turm entfernt, als Punkt A.



Wie hoch ist dieser Turm? Lösung Übersicht

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Lösung 1


  Textaufgaben, Lösungen

Lösung 1

Lösungsweg 1:



Bei genauerer Betrachtung entdecken wir, drei Dreiecke.

1) Ein großes rechtwinkliges, dessen Hypotenuse in einem Winkel von 40° vom Boden zur Turmspitze reicht.

2) Ein kleineres rechtwinkliges, dessen Hypotenuse in einem Winkel von 50° vom Boden zur Turmspitze reicht.

3) Ein Dreieck ohne rechten Winkel, dass sich zwischen den beiden Hypotenusen befindet.

Zunächst berechnen wir die beiden fehlenden Winkel des dritten Dreiecks:

Berechnung des Winkels rechts unten: $180°-50° = 130°$
Berechnung des oberen Winkels: $180°-40°-130° = 10°$



Nun berechnen wir mit Hilfe des Sinussatzes die Strecke von Punkt A zur Turmspitze:
$$\begin{matrix} \dfrac{x}{sin(40°)}&=&\dfrac{50}{sin(10°)}&~|~&\cdot sin(40°)\\~\\ x&=&\dfrac{50}{sin(10°)}\cdot sin(40°)&~|~&ausrechnen\\~\\ x&\approx&185,1&~ \end{matrix}$$

Da die Höhe h des Turms die Kathete des kleineren rechtwinkligen Dreiecks ist, können wir sie mit Hilfe der Sinusfunktion berechnen:

$\begin{matrix} sin(50°)&=&\dfrac{h}{185,1}&~|~&\cdot 185,1\\~\\ sin(50°)\cdot 185,1&=&h&~|~&ausrechnen\\~\\ 141,8&\approx&h&~ \end{matrix}$

Der Turm ist etwa 141,8 m hoch.

Lösungsweg 2:

Zur Vorbereitung berechnen wir wieder die Winkel des dritten Dreiecks.

Diesmal berechnen wir die Hypotenuse, von B zur Turmspitze:
$\begin{matrix} \dfrac{x}{sin(130°)}&=&\dfrac{50}{sin(10°)}&~|~&\cdot sin(130°)\\~\\ x&=&\dfrac{50}{sin(10°)}\cdot sin(130°)&~|~&ausrechnen\\~\\ x&\approx&220,6&~ \end{matrix}$

Die Höhe berechnen wir diesmal mit dem großen rechtwinkligen Dreieck:

$\begin{matrix} sin(40°)&=&\dfrac{h}{220,6}&~|~&\cdot 220,6\\~\\ sin(40°)\cdot 220,6&=&h&~|~&ausrechnen\\~\\ 141,8&\approx&h&~ \end{matrix}$

Lösungsweg 3:

Bei dieser Methode gehen wir nur von den beiden rechtwinkligen Dreiecken aus und lassen das dritte außer Acht. Dieser Weg kommt mit rechtwinkliger Trigonometrie aus, wir benötigen keinen Sinussatz. Allerdings sind die Gleichungsumformungen bei diesem Weg relativ aufwändig und erfordern hohe Trittsicherheit bei der Bruchrechnung.



Wir bezeichnen die Strecke zwischen Turm und Punkt A als x und erhalten über die Tangensfunktion ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten x und h:
$\begin{matrix} I&tan(40°)&=&\dfrac{h}{50 + x}&|&\cdot(50+x)\\ II&tan(50°)&=&\dfrac{h}{x}&|&\cdot x\\~\\ I&tan(40°)\cdot(50+x)&=&h&|&: tan(40°)\\ II&tan(50°)\cdot x&=&h&|&: tan(50°)\\~\\ I&50+x&=&\dfrac{h}{tan(40°)}&|&-50\\ II&x&=&\dfrac{h}{tan(50°)}&\\~\\ I&x&=&\dfrac{h}{tan(40°)}-50&~\\ II&x&=&\dfrac{h}{tan(50°)}&~\\~\\ \end{matrix}$

Gleichsetzen:
$\begin{matrix} \dfrac{h}{tan(40°)}-50=\dfrac{h}{tan(50°)}&|&+50\\~\\ \dfrac{h}{tan(40°)}=\dfrac{h}{tan(50°)}+50&|&-\dfrac{h}{tan(50°)}\\~\\ \dfrac{h}{tan(40°)}-\dfrac{h}{tan(50°)}=50&|&h(...)\\~\\ h \left(\dfrac{1}{tan(40°)}-\dfrac{1}{tan(50°)}\right)=50&|&Subtraktion\\~\\ h \left(\dfrac{tan(50°)-tan(40°)}{tan(40°)\cdot tan(50°)}\right)=50&|&:\dfrac{tan...}{tan...}\\~\\ h =50 \cdot \left( \dfrac{tan(40°)\cdot tan(50°)}{tan(50°)-tan(40°)} \right)&|&ausrechnen\\~\\ h&\approx&141,8\\ \end{matrix}$

Die andere Unbekannte x könnten wir jetzt ebenfalls ausrechnen, aber diese Zahl wird für das Ergebnis nicht gebraucht.