Elementares Rechnen

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Inhalt

Addition
Subtraktion
Multiplikation
Division
Potenzen
Wurzeln
Rundung
Vorrangregeln
Klammern
Vorzeichen
Potenzen und Vorzeichen
Wurzeln und Vorzeichen
Aufgaben

  Addition

Ergebnis: Summe
Summand plus Summand gleich Summe.

Verben: addieren, zusammenzählen, Summe bilden
Beispiel: $3+2 = 5$ Sprich: "Drei plus zwei gleich fünf"

Neutrale Zahl ist die Null: $a + 0 = a$
Beispiel: $5 + 0 = 5$

Die Addition ist kommutativ, es gilt das Kommutativgesetz: $a+b=b+a$
Beispiel: $3+2 = 5$  und  $2 + 3 = 5$

  Subtraktion

Die Subtraktion ist die Gegenrechnung zur Addition.

Ergebnis: Differenz
Minuend minus Subtrahend gleich Differenz.

Verben: subtrahieren, abziehen, Differenz bilden
Beispiel: $3-2 = 1$ Sprich: "Drei minus zwei gleich eins"

Neutrale Zahl ist die Null: $a - 0 = a$
Beispiel: $5 - 0 = 5$
Wird eine Zahl von sich selbst abgezogen, ist das Ergebnis immer die neutrale Zahl null.
Beispiele: $5 - 5 = 0$     $32 -32 = 0$ und so weiter

Die Subtraktion ist nicht kommutativ, das Kommutativgesetz gilt hier nicht :
$a-b \not = b-a$
Beispiel: $3-2 = 1$  aber  $2 - 3 = -1$

  Multiplikation

Ergebnis: Produkt
Faktor mal Faktor gleich Produkt.

Verben: multiplizieren, mal nehmen, Produkt bilden
Weitere Verben: verdoppeln (mal zwei), verdreifachen (mal 3), vervierfachen (mal 4) und so weiter Beispiel: $3 \cdot 2 = 6$ Sprich: "Drei mal zwei gleich sechs"

Neutrale Zahl ist die Eins: $a \cdot 1 = a$
Beispiel: $5 \cdot 1 = 5$

Sonderfall Null: Alles was mit null multiplziert wird, wird zu null: $a \cdot 0 = 0$
Beispiele: $5 \cdot 0 = 0$  oder  $10000 \cdot 0 = 0$

Die Multiplikation ist kommutativ, es gilt das Kommutativgesetz: $a \cdot b = b \cdot a$
Beispiel: $3 \cdot 2 = 6$  und  $2 \cdot 3 = 6$

Vorzeichenregeln
Plus mal Plus gleich Plus.
Beispiel: $+3 \cdot (+7) = +21$ oder kurz $3 \cdot 7 = 21$

Plus mal Minus gleich Minus.
Beispiel: $+3 \cdot (-7) = -21$ oder kurz $3 \cdot (-7) = -21$

Minus mal Plus gleich Minus.
Beispiel: $-3 \cdot (+7) = -21$ oder kurz $-3 \cdot 7 = -21$

Minus mal Minus gleich Plus.
Beispiel: $-3 \cdot (-7) = +21$ oder kurz $-3 \cdot (-7) = 21$

Achtung! Diese Vorzeichenregeln gelten nur für die Multiplikation und die Division (Siehe unten). Sie gelten nicht für die Addition und die Subtraktion!.

  Division

Die Division ist die Gegenrechnung zur Multiplikation.

Ergebnis: Quotient
Divident durch Divisor gleich Quotient.

Verben: dividieren, teilen, teilen durch, Quotient bilden
Weitere Verben: halbieren (durch zwei teilen), dritteln (durch drei teilen), vierteln (durch vier teilen) und so weiter
Beispiel: $8 : 2 = 4$ Sprich: "Acht geteilt durch zwei gleich vier"

Neutrale Zahl ist die Eins: $a : 1 = a$
Beispiel: $5 : 1 = 5$
Wird eine Zahl durch sich selbst geteilt, ist das Ergebnis immer die neutrale Zahl eins.
Beispiele: $5 : 5 = 1$     $32 : 32 = 1$ und so weiter

Sonderfall Null: Durch Null kann nicht geteilt werden, das ist unmöglich!
Beispiele: $5 : 0 = $nicht lösbar  oder  $10000 : 0 =$ nicht lösbar
Die Null selbst kann geteilt werden, das Ergebnis ist allerdings immer null.
Beispiele: $0 : 5 = 0$  oder  $0 : 7250 = 0$

Die Division ist nicht kommutativ, das Kommutativgesetz gilt hier nicht: $a : b \not = b : a$
Beispiel: $8 : 4 = 2$  aber  $4 : 8 = 0,5$

Vorzeichenregeln
Plus durch Plus gleich Plus.
Beispiel: $+21 : (+7) = +3$ oder kurz $21 : 7 = 3$

Plus durch Minus gleich Minus.
Beispiel: $+21 : (-7) = -3$ oder kurz $21 : (-7) = -3$

Minus durch Plus gleich Minus.
Beispiel: $-21 : (+7) = -3$ oder kurz $-21 : 7 = -3$

Minus durch Minus gleich Plus.
Beispiel: $-21 : (-7) = +3$ oder kurz $-21 : (-7) = 3$

Achtung! Diese Vorzeichenregeln gelten nur für die Division und die Multiplikation (Siehe oben). Sie gelten nicht für die Addition und die Subtraktion!.

  Potenzen

Definition: $\underbrace {a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a}_{n~Faktoren} = a^n $

$a^n$ (lies: "a hoch n"), a ist die Basis, n ist der Exponent

Verb: "Potenzieren", bei hoch 2 auch: "Quadrieren".

Neutrale Zahl ist die Eins: $a^1=a$
Beispiel: $5^1=5$

Beispiele für Potenzen:
$5^2=5 \cdot 5=25~~~~~2^{10} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 1024$

Die Potenz ist nicht kommutativ, das Kommutativgesetz gilt hier nicht:
$a^b \not = b^a$
Beispiel: $3^2=3 \cdot 3=9$ aber $2^3=2 \cdot 2 \cdot2=8$

Besondere Sprechweise: Statt "x hoch 2" sagen wir in der Regel "x Quadrat".
Statt "x hoch 3" wird gelegentlich "x Kubik" gesagt.

Die Quadratzahlen in der folgenden Tabelle sollten Sie auswendig lernen:

  Wurzeln

Definition: $\sqrt[n]{b} = w$   wenn:   $w^n = b$

$\sqrt[n]{b}$ (lies: n-te Wurzel aus b)

Verb: „Wurzel ziehen“, „radizieren“

Das Wurzelzeichen $\sqrt[~]{~}$ ist übrigens ein vereinfachtes kleines r (von radizieren).

Beispiele: $\sqrt[2]{144} = 12~~~~ \sqrt[3]{8} = 2$

Besondere Sprechweise: Statt "zweiter Wurzel" sagen wir in der Regel "Quadratwurzel". Statt "dritter Wurzel" wird gelegentlich "Kubikwurzel" gesagt.

Besondere Schreibweise: Bei Quadratwurzeln darf die 2 weggelassen werden.
Beispiel: $\sqrt[2]{64}=8$   oder   $\sqrt{64}=8$

Potenzen und Wurzeln können sich gegenseitig aufheben: Bei gleichem Exponenten heben sich Potenzen und Wurzeln gegenseitig auf (Umkehrrechnung).

$\sqrt[n]{a^n}=a$   oder  $\left(\sqrt[n]{a} \right)^n=a$

Beispiel:

$\sqrt[9]{2^9}=2$   oder  $\left(\sqrt[9]{2} \right)^9=2$
Ausgerechnet:
$2^9=512$    $\sqrt[9]{512}=2$      $\sqrt[9]{2}=1,0800597389...$    $1,0800597389...^9=2$

  Rundung

Oft sind Rechenergebnisse nur mit einer begrenzten Genauigkeit erforderlich.
In diesen Fällen runden wir die Zahlen auf die gewünschte Anzahl von Nachkommastellen.

Dazu schneiden wir die überflüssigen Stellen ab.
Wenn die vorderste der abgeschnittenen Ziffern eine $0, 1, 2, 3$ oder $4$ ist, wird einfach abgeschnitten (abrunden).
Ist die vorderste der abgeschnittenen Ziffern dagegen eine $5, 6, 7, 8$ oder $9$, wird die hinterste der verbliebenen Ziffern um eins erhöht (aufrunden).

Beispiele (auf eine Nachkommastelle gerundet):
$\begin{matrix} 12,3456&\approx& 12,3\\ 10,7723&\approx& 10,8\\ 11,2345&\approx& 11,2\\ -3,1415&\approx& -3,1\\ 26,98&\approx& 27,0\\ \end{matrix}$
Im letzten Beispiel hat die Rundung einen Übertrag bewirkt.

Im Unterricht werden wir meistens auf eine Nachkommastelle runden.
Aber Vorsicht! In manchen Prüfungsaufgaben wird angegeben, auf wieviele Stellen gerundet werden soll. Eine abweichende Rundung führt dann zum Punktabzug.

  Vorrangregeln

Punkt vor Strich
Wenn wir $1+2 \cdot 3$ einfach von links nach rechts durchrechnen, erhalten wir das falsche Ergebnis $9$.
Die Punktrechnungen Multiplikation $\cdot$ und Division $:$ müssen aber vor den Strichrechnungen Addition $+$ und Subtraktion $-$ durchgeführt werden.
Richtig wird also so gerechnet: $$ \begin{array}{lcl} 1 + 2 \cdot 3&=&1 + 6\\ ~&=&7\\ \end{array} $$ Potenzen haben sogar Vorrang vor der Punktrechnung:
$$ \begin{array}{lcl} 1+2 \cdot 3^2&=&1 + 2 \cdot 9 \\ ~&=& 1 + 18\\ ~&=& 19\\ \end{array} $$

  Das Rechnen mit Klammern

Regel: Was in einer Klammer steht, muß zuerst berechnet werden.

Klammern können also die Vorrangregeln außer Kraft setzen.

Beispiel:

$$ \begin{array}{lcl} 4+3 \cdot 5^2&=&4 + 3 \cdot 25&~~~~~~~~~~& [(4+3)\cdot 5]^2&=&[7 \cdot 5]^2\\ ~&=& 4 + 75&~~~~~~~~~~& ~&=&35^2\\ ~&=& 79&~~~~~~~~~~& ~&=&1225\\ \end{array} $$ Obwohl beide Rechnungen die gleichen Zahlen verwenden, kommt das linke Beispiel (ohne Klammern) zu einem anderen Ergebnis, als das rechte Beispiel (mit Klammern).

Worauf bezieht sich das Minuszeichen?
Wie ist der Rechenausdruck $$-3^2$$ zu lesen? Ist das Minus als Vorzeichen der Basis $$(-3)^2=9$$ oder als Vorzeichen der Potenz $$-(3^2)=-9$$ aufzufassen?

Wenden wir die oben genannten Vorrangregeln konsequent an, hat die Potenz höhere Priorität, als das Minuszeichen. Es wird zuerst das Quadrat gebildet und danach das Minus als Vorzeichen gesetzt.
Also:
$$-3^2=-9$$ $$(-3)^2=9$$ Zu diesem Ergebnis kommen auch die meisten Taschenrechner.

  Vorzeichen

Wir können das Plus- und das Minuszeichen auch als Vorzeichen auffassen.

In diesem Fall ist das Vorzeichen ein fester Bestandteil der Zahl: $+3~~~-3~~~+7~~~-4,35$

Positive Zahlen sind Zahlen mit einem $+$ als Vorzeichen.

Negative Zahlen sind Zahlen mit einem $-$ als Vorzeichen.

Kurzschreibweise: Es ist üblich das Pluszeichen $+$ bei positiven Zahlen wegzulassen. Wir brauchen das Pluszeichen also nur noch aufzuschreiben, wenn das Weglassen zu Mißverständnissen führen würde. Beispiel:
$$3+7=10$$ Hier können wir das Pluszeichen vor der Drei und der Zehn weglassen. Das Pluszeichen vor der Sieben dürfen wir nicht weglassen, weil eine Drei und eine Sieben nebeneinander auch als „siebenunddreißig“ gelesen werden kann:
$$37 \not = 10$$ Zahlenstrahl
Was negative und positive Zahlen sind, machen wir uns am besten an einem Zahlenstrahl klar:

Beim Addieren bewegen wir uns auf dem Zahlenstrahl nach rechts. Beim Subtrahieren bewegen wir uns auf dem Zahlenstrahl nach links.

Beispiele:
$~~~2+2=~~~4$    Von der Zwei zwei Schritte nach rechts.
$~~~4-3=~~~1$    Von der Vier drei Schritte nach links.
$~~~4-5=-1$    Von der Vier fünf Schritte nach links.
$-1+3=~~~2$    Von der Minuseins drei Schritte nach rechts.
$-1-2=-3$    Von der Minuseins zwei Schritte nach links.

Wir können uns den Zahlenstrahl als Thermometer vorstellen. Addieren bedeutet dann wärmer werden. Subtrahieren bedeutet dagegen kälter werden.

Oder als Bankkonto. Addieren bedeutet Geld auf das Konto einzahlen. Subtrahieren bedeutet in diesem Fall Geld vom Konto abheben.

Beträge:
Eine Zahl ohne ihr Vorzeichen nennen wir Betrag. Um zu zeigen, dass wir nicht die Zahl mit Vorzeichen, sondern nur ihren Betrag meinen, klammern wir die Zahl in senkrechte Striche („Betragsstriche“) ein. Beispiel:
$$|-5|$$ Die Zahlen minus fünf und fünf sind verschieden:
$$-5 \not = 5$$ Aber ihre Beträge sind gleich:
$$|-5| = |5|$$
Rechenregel:
Um zu Begreifen, was positive und negative Zahlen sind, ist der Zahlenstrahl eine feine Sache. Im praktischen Rechnen ist er (gerade bei großen Zahlen) ziemlich umständlich.

Beim Addieren (und Subtrahieren) hilft uns hier eine einfache Regel weiter:

„Sind die Vorzeichen zweier Zahlen gleich, zählen wir die Beträge zusammen und übernehmen das Vorzeichen.“
$$ \begin{array}{lcl} +5 +3&=&~\\ ~&=&+([+5]+[+3])\\ ~&=&+(8)\\ ~&=&+8\\ ~&~&~\\ -5 -3&=&~\\ ~&=&-([-5]+[-3])\\ ~&=&-(8)\\ ~&=&-8\\ \end{array} $$ „Sind die Vorzeichen zweier Zahlen verschieden, ziehen wir vom größeren Betrag den kleineren Betrag ab und übernehmen das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag.“
$$ \begin{array}{lcl} -7 +4&=&~\\ ~&=&-([-7]-[+4])\\ ~&=&-(3)\\ ~&=&-3\\ ~&~&~\\ +7 -4&=&~\\ ~&=&+([+7]-[-4])\\ ~&=&+(3)\\ ~&=&+3\\ \end{array} $$

  Potenzen und Vorzeichen

Gerade Exponenten
Das Ergebnis ist immer positiv.
Beispiel: $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2= 16$
und $(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16$

Ungerade Exponenten
Das Ergebnis hat das Vorzeichen der Basis.
Beispiel: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2= 8$ aber $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$

  Wurzeln und Vorzeichen

Wurzeln aus negativen Zahlen
Wurzeln aus negativen Zahlen können wir ziehen, wenn der Exponent ungerade ist. Beispiel:

$\sqrt [3]{-8} = -2$

Wir können sie dagegen nicht ziehen, wenn der Exponent gerade ist. Beispiel:

Die Aufgabe $\sqrt [2]{-4} = ???$ können wir nicht lösen.

Das folgt zwingend aus dem unter „Potenzen und Vorzeichen“ gesagten.

Wir schreiben statt dessen: $\sqrt [2]{-4} = keine~reelle~Lösung$

Wurzeln mit negativen Ergebnissen
Wurzeln mit geradem Exponenten haben immer zwei Ergebnisse, ein positives und ein negatives. Beispiel:

$\sqrt {25} = \pm 5$ also: $\sqrt {25} = 5$ oder $\sqrt {25} = -5$

In den meisten Fällen brauchen wir das negative Ergebnis nicht zu beachten und verwenden nur das positive.
In Gleichungen oder bei der Verwendung von Koordinatenkreuzen kann dagegen auch das negative Ergebnis von Belang sein.

Bei Wurzeln mit ungeraden Exponenten hat das Ergebnis immer das gleiche Vorzeichen wie die Zahl, aus der die Wurzel gezogen wurde. Beispiele:

$\sqrt[3]{8} = 2~~~~~~~~~\sqrt[3]{-8} = -2$

  Aufgaben

PDF INFO: „Empfohlener Taschenrechner CASIO fx-85MS“
PDF Übung: „Addition und Multiplikation mit Vorzeichen“
PDF Übung: „Potenzen mit und ohne Klammern“
PDF Übung: „Runden“
PDF Übung: „Wurzeln“
PDF Übung: „Punkt vor Strich oder Klammern“