1. Die vier Grundrechenarten, Vorrangregeln und Rundung

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Inhalt

Addition
Subtraktion
Multiplikation
Division
Rundung
Punkt vor Strich Regel
Klammern
Größer, kleiner, gleich und nicht gleich
Aufgaben

  Addition

Ergebnis: Summe

Verben: addieren, zusammenzählen, Summe bilden
Beispiel: $3+2 = 5$ Sprich: "Drei plus zwei gleich fünf"

Neutrale Zahl ist die Null: $a + 0 = a$
Beispiel: $5 + 0 = 5$

Die Addition ist kommutativ, es gilt das Kommutativgesetz: $a+b=b+a$
Beispiel: $3+2 = 5$  und  $2 + 3 = 5$

  Subtraktion

Ergebnis: Differenz

Verben: subtrahieren, abziehen, Differenz bilden
Beispiel: $3-2 = 1$ Sprich: "Drei minus zwei gleich eins"

Neutrale Zahl ist die Null: $a - 0 = a$
Beispiel: $5 - 0 = 5$
Wird eine Zahl von sich selbst abgezogen, ist das Ergebnis immer die neutrale Zahl null.
Beispiele: $5 - 5 = 0$     $32 -32 = 0$ und so weiter

Die Subtraktion ist nicht kommutativ, das Kommutativgesetz gilt hier nicht: $a-b \not = b-a$
Beispiel: $3-2 = 1$  aber  $2 - 3 = -1$

  Multiplikation

Ergebnis: Produkt

Verben: multiplizieren, mal nehmen, Produkt bilden
Weitere Verben: verdoppeln (mal zwei), verdreifachen (mal 3), vervierfachen (mal 4) und so weiter Beispiel: $3 \cdot 2 = 6$ Sprich: "Drei mal zwei gleich sechs"

Neutrale Zahl ist die Eins: $a \cdot 1 = a$
Beispiel: $5 \cdot 1 = 5$

Sonderfall Null: Alles was mit null multiplziert wird, wird zu null: $a \cdot 0 = 0$
Beispiele: $5 \cdot 0 = 0$  oder  $10000 \cdot 0 = 0$

Die Multiplikation ist kommutativ, es gilt das Kommutativgesetz: $a \cdot b = b \cdot a$
Beispiel: $3 \cdot 2 = 6$  und  $2 \cdot 3 = 6$

  Division

Ergebnis: Quotient

Verben: dividieren, teilen, teilen durch, Quotient bilden
Weitere Verben: halbieren (durch zwei teilen), dritteln (durch drei teilen), vierteln (durch vier teilen) und so weiter
Beispiel: $8 : 2 = 4$ Sprich: "Acht geteilt durch zwei gleich vier"

Neutrale Zahl ist die Eins: $a : 1 = a$
Beispiel: $5 : 1 = 5$
Wird eine Zahl durch sich selbst geteilt, ist das Ergebnis immer die neutrale Zahl eins.
Beispiele: $5 : 5 = 1$     $32 : 32 = 1$ und so weiter

Sonderfall Null: Durch Null kann nicht geteilt werden, das ist unmöglich!
Beispiele: $5 : 0 = $nicht lösbar  oder  $10000 : 0 =$ nicht lösbar
Die Null selbst kann geteilt werden, das Ergebnis ist allerdings immer null.
Beispiele: $0 : 5 = 0$  oder  $0 : 7250 = 0$

Die Division ist nicht kommutativ, das Kommutativgesetz gilt hier nicht: $a : b \not = b : a$
Beispiel: $8 : 4 = 2$  aber  $4 : 8 = 0,5$

  Rundung

Oft sind Rechenergebnisse nur mit einer begrenzten Genauigkeit erforderlich.
In diesen Fällen runden wir die Zahlen auf die gewünschte Anzahl von Nachkommastellen.

Dazu schneiden wir die überflüssigen Stellen ab.
Wenn die vorderste der abgeschnittenen Ziffern eine $0, 1, 2, 3$ oder $4$ ist, wird einfach abgeschnitten (abrunden).
Ist die vorderste der abgeschnittenen Ziffern dagegen eine $5, 6, 7, 8$ oder $9$, wird die hinterste der verbliebenen Ziffern um eins erhöht (aufrunden).

Beispiele (auf eine Nachkommastelle gerundet):
$\begin{matrix} 12,3456&\approx& 12,3\\ 10,7723&\approx& 0,8\\ 11,2345&\approx& 11,2\\ -3,1415&\approx& -3,1\\ 26,98&\approx& 27,0\\ \end{matrix}$
Im letzten Beispiel hat die Rundung einen Übertrag bewirkt.

Im Unterricht werden wir meistens auf eine Nachkommastelle runden.
Aber Vorsicht! In manchen Prüfungsaufgaben wird angegeben, auf wieviele Stellen gerundet werden soll. Eine abweichende Rundung führt dann zum Punktabzug.

  Punkt vor Strich Regel

Regel: Mal ($\cdot$) und geteilt (:) (Punktrechnungen) sind immer vor plus (+) und minus (-) (Strichrechnungen) auszuführen.

Beispiel: Wie berechnen wir $1 + 2 \cdot 3$ ?

Richtiger Weg: $1+2 \cdot 3 = 1 + 6 = 7$
Die Multiplikation muß zuerst gerechnet werden!

Falscher Weg: $1+2 \cdot 3 = 3 \cdot 3 = 9$
Hier wurde einfach von links nach rechts durchgerechnet. Dadurch wurde die Addition vor der Multiplikation ausgeführt. Das ist aber falsch!

  Das Rechnen mit Klammern

Regel: Was in einer Klammer steht, muß zuerst berechnet werden.

Wie berechnen wir $(1+2) \cdot 3$ ?

Richtiger Weg: $(1+2) \cdot 3 = 3 \cdot 3 = 9$
Die Rechnung in der Klammer wurde vorgezogen.

Falscher Weg $(1+2) \cdot 3 = 1 + 6 = 7$
In diesem Beispiel setzt die Klammer die Punkt vor Strich Regel außer Kraft. Das wurde hier nicht beachtet!

  Größer, kleiner, gleich und nicht gleich

Es gibt mathematische Zeichen, die etwas darüber aussagen, ob zwei Werte gleich oder verschieden sind oder welcher von beiden Werten der größere, beziehungsweise der kleinere ist.

Größer:
Zeichen: $\gt~~~~~$ sprich: „ist größer als”
Beispiele:
$5 \gt 2$ Wahre Aussage, denn 5 ist größer als 2
$2 \gt 5$ Falsche Aussage, denn 2 ist nicht größer als 5

Kleiner:
Zeichen: $\lt~~~~~$ sprich: „ist kleiner als”
Beispiele:
$2 \lt 5$ Wahre Aussage, denn 2 ist kleiner als 5
$5 \lt 2$ Falsche Aussage, denn 5 ist nicht kleiner als 2

Gleich:
Zeichen: $=~~~~~$ sprich: „ist gleich”
Beispiele:
$5 = 5$ Wahre Aussage, denn 5 ist gleich 5
$5 = 2$ Falsche Aussage, denn 5 ist nicht gleich 2

Nicht gleich:
Zeichen: $\ne~~~~~$ sprich: „ist nicht gleich”
Beispiele:
$5 \ne 2$ Wahre Aussage, denn 5 ist nicht gleich 2
$5 \ne 5$ Falsche Aussage, denn 5 ist gleich 5

Größer oder gleich:
Zeichen: $\ge~~~~~$ sprich: „ist größer oder gleich”
Beispiele:
$5 \ge 5$ Wahre Aussage, denn 5 ist gleich 5
$5 \ge 2$ Wahre Aussage, denn 5 ist größer als 2
$2 \ge 5$ Falsche Aussage, denn 2 ist weder größer als 5, noch gleich 5

Kleiner oder gleich:
Zeichen: $\le~~~~~$ sprich: „ist kleiner oder gleich”
Beispiele:
$2 \le 2$ Wahre Aussage, denn 2 ist gleich 2
$2 \le 5$ Wahre Aussage, denn 2 ist kleiner als 5
$5 \le 2$ Falsche Aussage, denn 5 ist weder kleiner als 2, noch gleich 2

  Aufgaben

Punkt vor Strich Regel PDF

Runden von Zahlen PDF

Rechnen mit Klammern PDF