19. Rechtwinklige Trigonometrie

Die Formeln werden nur mit aktiviertem JavaScript korrekt dargestellt.
Die Fensterbreite des Browsers sollte 800 Pixel nicht unterschreiten.

Zur Startseite    Datenschutzerklärung    Impressum    Lernprogramm    © Jakob Fechtig
 

Inhalt

Ankathete und Gegenkathete
Die Winkelfunktionen
Verwenden von sin, cos und tan
Gegenkathete mit dem Sinus berechnen
Hypotenuse mit dem Sinus berechnen
Winkel mit dem Sinus berechnen
Ankathete mit dem Kosinus berechnen
Hypotenuse mit dem Kosinus berechnen
Winkel mit dem Kosinus berechnen
Gegenkathete mit dem Tangens berechnen
Ankathete mit dem Tangens berechnen
Winkel mit dem Tangens berechnen
Aufgaben

  Ankathete und Gegenkathete

Wie aus dem Kapitel über den Satz des Pythagoras bekannt, unterscheiden wir in einem rechtwinkligen Dreieck die beiden Katheten von der Hypotenuse.

Wir werden diese Unterscheidung jetzt verfeinern.

Um die beiden Katheten zu unterscheiden, nennen wir die Kathete, die an einem Winkel liegt seine Ankathete und die Kathete, die dem Winkel gegenüber liegt, nennen wir seine Gegenkathete.
Da es nur eine Hypotenuse gibt, ist hier keine Unterscheidung nötig.

                  

Anmerkung:
In der obigen Abbildung ist $\gamma$ der rechte Winkel c die Hypotenuse. Das ist eine übliche Darstellung. Beachten Sie bitte, dass das nicht immer so sein muss und gelegentlich auch $\alpha$ (mit a als Hypotenuse) oder $\beta$ (mit b als Hypotenuse) rechtwinklig sein können.

  Die Winkelfunktionen

Abkürzungen:

Die Ankathete wird im folgenden mit $AK$ bezeichnet, die Gegenkathete mit $GK$ und die Hypotenuse mit $Hy$.

Wo ich es für nötig gehalten habe, verdeutlicht ein Index welcher Winkel gemeint ist:
$$AK_\alpha ,~AK_\beta ,~GK_\alpha ,~GK_\beta$$

Definitionen:

Sinus:
$sin(\alpha) = \frac{GK_\alpha}{Hy}$   $sin(\beta) = \frac{GK_\beta}{Hy}$

Kosinus:
$cos(\alpha) = \frac{AK_\alpha}{Hy}$   $cos(\beta) = \frac{AK_\beta}{Hy}$

Tangens:
$tan(\alpha) = \frac{GK_\alpha}{AK_\alpha}$   $tan(\beta) = \frac{GK_\beta}{AK_\beta}$

Anmerkung:
Die Klammer um den Winkel werden Sie nicht in allen Lehrbüchern wiederfinden. Ich empfehle diese Klammer, da sie hilft Fehler zu vermeiden.

  Verwenden von sin, cos und tan

Runden:
Der Sinuswert des Winkels 62° ist:
$$sin(62°) = 0,88294759285892694203217136031572...$$ Wie die meisten Sinus-, Kosinus- oder Tangenswerte, ist auch $sin(62°)$ eine irrationale Zahl mit unendlich vielen Nachkommastellen, ohne jegliche Periodizität. Wir müssen diese Zahl also an irgendeiner Stelle runden:
$$sin(62°) = 0,8829$$ In den meisten Fällen sind vier Nachkommastellen genau genug. Weniger als vier Stellen sollten es nicht sein - das wäre zu ungenau!

Vom Winkel zum Sinus-, Kosinus oder Tangeswert und umgekehrt:
Früher wurden sin-, cos- und tan-Werte und die dazu passenden Winkel in Tabellen nachgeschlagen. Heute verwenden wir dazu in der Regel einen Taschenrechner!

Die Funktionen $sin$, $cos$ und $tan$ bestimmen den passenden Sinus-, Kosinus- oder Tangenswert zu einem bestimmten Winkel.

Die Funktionen $sin^{-1}$, $cos^{-1}$ und $tan^{-1}$ bestimmen dagegen den passenden Winkel zu einem bestimmten Sinus-, Kosinus- oder Tangenswert.

Beispiel:
$$sin(62) = 0,8829$$ $$sin^{-1}(0,8829) = 62$$ Achtung! Jeder Taschenrechner funktioniert etwas anders!

Wann verwenden wir Sinus, wann Kosinus und wann Tangens?

Das hängt davon ab, welche Größen an der Rechnung beteiligt (gegeben, gefragt) sind.

Gegeben, gefragt Winkelfunktion
Gegenkathete, Hypotenuse, Winkel               Sinus
Ankathete, Hypotenuse, Winkel               Kosinus
Gegenkathete, Ankathete, Winkel               Tangens

  Gegenkathete mit dem Sinus berechnen

Gesucht: Gegenkathete [GK].
Gegeben: Hypotenuse [Hy] und Winkel [$\alpha$].

Hy: 10 cm
$\alpha$: 35°

Wir setzen die Werte in die Sinusdefinition $sin(\alpha) = \frac{GK}{Hy}$ ein und lösen die Gleichung. $$ \begin{matrix} sin(35°) &=&\frac{GK}{10}&|\cdot 10\\ sin(35°) \cdot 10 &=&GK \end{matrix} $$ Das können wir im Taschenrechner wie folgt berechnen:


Das Ergebnis runden wir auf die geforderte Anzahl von Stellen und schreiben den Antwortsatz:
„Die Gegenkathete ist rund 5,7 cm lang.“

  Hypotenuse mit dem Sinus berechnen

Gesucht: Hypotenuse [Hy].
Gegeben: Gegenkathete [GK] und Winkel [$\alpha$].

Gk: 6 cm
$\alpha$: 25°

Wir setzen die Werte in die Sinusdefinition $sin(\alpha) = \frac{GK}{Hy}$ ein und lösen die Gleichung. $$ \begin{matrix} sin(25°) &=&\frac{6}{Hy}&|&\cdot &Hy\\ sin(25°)\cdot Hy &=&6&|& : &sin(25)\\ Hy &=&\frac{6}{sin(25)} \end{matrix} $$ Das können wir im Taschenrechner wie folgt berechnen:


Das Ergebnis runden wir auf die geforderte Anzahl von Stellen und schreiben den Antwortsatz:
„Die Hypotenuse ist rund 14,2 cm lang.“

  Winkel mit dem Sinus berechnen

Gesucht: Winkel [$\alpha$].
Gegeben: Gegenkathete [GK] und Hypotenuse [Hy].

Gk: 6 cm
Hy: 12

Wir setzen die Werte in die Sinusdefinition $sin(\alpha) = \frac{GK}{Hy}$ ein und lösen die Gleichung. $$ \begin{matrix} sin(\alpha) &=&\frac{6}{12}&~\\ \alpha &=&sin^{-1}\left( \frac{6}{12}\right) \end{matrix} $$ Das können wir im Taschenrechner wie folgt berechnen:


Antwortsatz:
„Der Winkel beträgt 30°.“

  Ankathete mit dem Kosinus berechnen

Gesucht: Ankathete [AK].
Gegeben: Hypotenuse [Hy] und Winkel [$\alpha$].

Hy: 10 cm
$\alpha$: 35°

Wir setzen die Werte in die Kosinusdefinition $cos(\alpha) = \frac{AK}{Hy}$ ein und lösen die Gleichung. $$ \begin{matrix} cos(35°) &=&\frac{AK}{10}&|\cdot 10\\ cos(35°) \cdot 10 &=&AK \end{matrix} $$ Das können wir im Taschenrechner wie folgt berechnen:


Das Ergebnis runden wir auf die geforderte Anzahl von Stellen und schreiben den Antwortsatz:
„Die Ankathete ist rund 8,2 cm lang.“

  Hypotenuse mit dem Kosinus berechnen

Gesucht: Hypotenuse [Hy].
Gegeben: Ankathete [AK] und Winkel [$\alpha$].

AK: 7 cm
$\alpha$: 40°

Wir setzen die Werte in die Kosinusdefinition $cos(\alpha) = \frac{AK}{Hy}$ ein und lösen die Gleichung. $$ \begin{matrix} cos(40°) &=&\frac{7}{Hy}&|\cdot Hy\\ cos(40°) \cdot Hy &=&7&|: cos(40°)\\ Hy &=&\frac{7}{cos(40°)} \end{matrix} $$ Das können wir im Taschenrechner wie folgt berechnen:


Das Ergebnis runden wir auf die geforderte Anzahl von Stellen und schreiben den Antwortsatz:
„Die Hypotenuse ist rund 9,1 cm lang.“

  Winkel mit dem Kosinus berechnen

Gesucht: Winkel [$\alpha$].
Gegeben: Gegenkathete [AK] und Hypotenuse [Hy].

Ak: 8 cm
Hy: 10

Wir setzen die Werte in die Kosinusdefinition $cos(\alpha) = \frac{AK}{Hy}$ ein und lösen die Gleichung. $$ \begin{matrix} cos(\alpha) &=&\frac{8}{10}&~\\ \alpha &=&cos^{-1}\left( \frac{8}{10}\right) \end{matrix} $$ Das können wir im Taschenrechner wie folgt berechnen:


Antwortsatz:
„Der Winkel beträgt rund 36,9°.“

  Gegenkathete mit dem Tangens berechnen

Gesucht: Gegenkathete [GK].
Gegeben: Ankathete [AK] und Winkel [$\alpha$].

AK: 10 cm
$\alpha$: 50°

Wir setzen die Werte in die Tangensdefinition $tan(\alpha) = \frac{GK}{AK}$ ein und lösen die Gleichung. $$ \begin{matrix} tan(50°) &=&\frac{GK}{10}&|\cdot 10\\ tan(50°) \cdot 10 &=&GK \end{matrix} $$ Das können wir im Taschenrechner wie folgt berechnen:


Das Ergebnis runden wir auf die geforderte Anzahl von Stellen und schreiben den Antwortsatz:
„Die Gegenkathete ist rund 11,9 cm lang.“

  Ankathete mit dem Tangens berechnen

Gesucht: Ankathete [AK].
Gegeben: Gegenkathete [GK] und Winkel [$\alpha$].

GK: 7 cm
$\alpha$: 30°

Wir setzen die Werte in die Tangensdefinition $tan(\alpha) = \frac{GK}{AK}$ ein und lösen die Gleichung. $$ \begin{matrix} tan(30°) &=&\frac{7}{AK}&|\cdot AK\\ tan(30°) \cdot AK&=&7 &|:tan(30°)\\ AK&=&\frac{7}{tan(30°)} \end{matrix} $$ Das können wir im Taschenrechner wie folgt berechnen:


Das Ergebnis runden wir auf die geforderte Anzahl von Stellen und schreiben den Antwortsatz:
„Die Ankathete ist rund 12,1 cm lang.“

  Winkel mit dem Tangens berechnen

Gesucht: Winkel [$\alpha$].
Gegeben: Gegenkathete [GK] und Ankathete [AK].

GK: 8 cm
AK: 10

Wir setzen die Werte in die Tangensdefinition $tan(\alpha) = \frac{GK}{AK}$ ein und lösen die Gleichung. $$ \begin{matrix} tan(\alpha) &=&\frac{8}{10}&~\\ \alpha &=&tan^{-1}\left( \frac{8}{10}\right) \end{matrix} $$ Das können wir im Taschenrechner wie folgt berechnen:


Antwortsatz:
„Der Winkel beträgt rund 38,7°.“