19. Aufgaben: Rechtwinklige Trigonometrie

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Inhalt

Elementare Übungen
Textaufgaben Schwierigkeitsstufe 1
Textaufgaben Schwierigkeitsstufe 2
Lösungen Schwierigkeitsstufe 1
Lösungen Schwierigkeitsstufe 2

  Elementare Übungen

Alte Version des Lehrtextes pdf
Gegenkathete mit Sinus berechnen pdf
Hypotenuse mit Sinus berechnen pdf
Winkel mit Sinus berechnen pdf
Ankathete mit Kosinus berechnen pdf
Hypotenuse mit Kosinus berechnen pdf
Winkel mit Kosinus berechnen pdf
Ankathete mit Tangens berechnen
Gegenkathete mit Tangens berechnen pdf
Winkel mit Tangens berechnen pdf
Vermischte Aufgaben pdf (Finden Sie selbst heraus, ob Sinus, Kosinus oder Tangens zu verwenden ist)

  Textaufgaben Schwierigkeitsstufe 1

Erläuterung
Bei Aufgaben dieser Schwierigkeitsstufe geht es darum, rechtwinklige Dreiecke, die sich in anderen Formen befinden zu erkennen und die gesuchte Größe zu berechnen.
Voraussetzung für ein erfolgreiches Lösen dieser Aufgaben, ist neben einem geometrischen Allgemeinverständnis, soviele der PDF-Aufgaben gelöst zu haben, dass eine solide Übung im Umgang mit den Winkelfunktionen vorliegt.

Aufgabe 1
Ein rechteckiger Platz hat eine Länge von 40 m und eine Breite von 20 m. Welchen Winkel hat die Diagonale dieses Platzes zur Länge? Runden Sie das Ergebnis auf volle Grad. Lösung

  Textaufgaben Schwierigkeitsstufe 2

Erläuterung
Auch bei diesen Aufgaben sind die rechtwinkligen Dreiecke Teil größerer geometrischer Strukturen. Das Besondere dieser Aufgaben liegt darin, dass die trigonometrischen Berechnungen nur Teile einer umfassenderen Berechnung sind.
Voraussetzung für ein erfolgreiches Lösen dieser Aufgaben, ist die Beherrschung der Schwierigkeitsstufe 1.

Aufgabe 1
Die Erdkugel hat einen Radius von etwa 6380 km. Der 50. Breitengrad geht durch die Stadt Mainz. Wenn wir in Mainz starten, diesen Breitengrad entlangfahren, sodass wir die Erde umrunden und schließlich wieder in Mainz ankommen, wie lang wäre diese Strecke? Lösung

  Lösungen Schwierigkeitsstufe 1

Erläuterung
Die Lösungen dienen zum Einen der Überprüfung Ihrer eigenen Lösung, zum Anderen können sie Ihnen helfen, wenn Sie gar nicht mehr weiterkommen.
Im zweiten Fall hilft Ihnen vielleicht der Anfang der Lösung auf die Sprünge, sodass Sie es ab dann alleine weiter schaffen. Probieren Sie es aus!

Lösung 1
Die Diagonale teilt das Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Länge und Breite bilden die Katheten des Dreiecks, wobei die Ankathete 40 m und die Gegenkathete 20 m lang ist. Die Länge der Hypotenuse ist uns unbekannt. Daher wählen wir als Winkelfunktion den Tangens und rechnen:

$tan(\alpha) = \frac{20}{40}$

$tan(\alpha) = 0,5$

$\alpha = tan^{-1}(0,5)$

$\alpha \approx 27°$

Der Winkel beträgt rund 27°.

  Lösungen Schwierigkeitsstufe 2

Lösung 1
Zunächst machen wir uns Lage und Eigenschaften des 50. Breitengrades mit Hilfe einer Skizze klar.



Der Kugelradius bildet mit einem Teil der Nord-/Südachse und dem Radius des 50. Breitengradkreises ein rechtwinkliges Dreieck (rot).

Der Kugelradius bildet die Hypotenuse des Dreiecks. Der Winkel des Kugelradius zur Erdachse berägt: $90° - 50° = 40°$.

Der Radius r des 50. Breitengradkreises ist die Gegenkathete zum 40° Winkel. Wir berechnen seine Länge mit Hilfe der Sinusfunktion:

$sin(40°) = \frac{r}{6380}| \cdot 6380$

$sin(40°)\cdot 6380 = r $

$4101 \approx r$

Nun können wir den Umfang des 50. Breitengradkreises berechnen:

$U = 2 \cdot 4101 \cdot \pi$

$U \approx 25767$

Der 50. Breitengrad ist etwa 25767 km lang.