18. Satz des Pythagoras

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Inhalt

Dreiecke, Einführung
Rechtwinklige Dreiecke
Satz des Pythagoras
Aufgaben

  Dreiecke, Einführung

Bezeichnungen


            
In der Regel bezeichnen wir Dreiecke wie folgt:
Ecken (große lateinische Buchstaben, links unten beginnend, gegen den Uhrzeiger):
A, B, C

Seiten (kleine lateinische Buchstaben, passend zur gegenüberliegenden Ecke):
a, b, c

Winkel (kleine griechische Buchstaben, passend zur Ecke):
$\alpha, \beta, \gamma$

Anmerkung: Nehmen Sie diese Bezeichnungsweise nicht zu streng! Die Bezeichnungen können in einer konkreten Aufgabenstellung auch abweichen.

Winkelmessung
Für die Winkelmessung verwenden wir im Realschulunterricht das Gradsystem, bei dem eine volle Drehung 360° hat.
Andere Systeme wie etwa das Bogenmaß verwenden wir nicht.
Achten Sie darauf, dass Ihr Taschenrechner entsprechend eingestellt ist.

Winkelsumme
Für alle Dreiecke, die sich auf einer ebenen Fläche befinden gilt:
$$\alpha + \beta + \gamma = 180°$$

Befindet sich ein Dreieck auf einer Kugeloberfläche, sind andere Winkelsummen möglich, aber das ist kein Realschulthema.

Aus der Winkelsumme von 180° folgt:
Kennen wir zwei Winkel eines Dreiecks, können wir den dritten berechnen.
Ein Dreieck kann höchstens einen rechten Winkel (90°) haben.
Jeder Winkel muß kleiner als 180° sein.

Seitenlänge und Winkel
Dem größten Winkel liegt stets die längste Seite gegenüber.
Dem kleinsten Winkel liegt stets die kürzeste Seite gegenüber.

  Rechtwinklige Dreiecke

Bezeichnungen

      

Die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden, nennen wir Katheten. Die in der Zeichnung erwähnten Begriffe Ankathete und Gegenkathete werden erst im nächsten Kapitel interessant. Sie sollten sie vorläufig ignorieren.
Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt, nennen wir Hypotenuse.

Ein rechtwinkliges Dreieck hat also stets zwei Katheten und eine Hypotenuse.

Wichtig: Dreiecke ohne rechten Winkel haben keine Katheten und keine Hypotenuse!

Seitenlängen
Wegen der Winkelsumme von 180° muss der rechte Winkel der größte Winkel sein. Daraus folgt, dass die Hypotenuse immer die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks sein muss.

  Satz des Pythagoras

Gültigkeit
Der Satz des Pythagoras gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken.

Satz
"Die Summe der Kathetenquadrate ist gleich dem Hypotenusenquadrat"

Übliche Schreibweise
In den meisten Formelsammlungen finden Sie den Satz des Pythogoras so:
$$a^2+b^2=c^2$$
Rechenbeispiel: Hypotenuse gesucht
Seite a (Kathete): 3 cm
Seite b (Kathete): 4 cm
Seite c (Hypotenuse): gesucht

Wir setzen die bekannten Größen in die Formel ein und lösen die dadurch gebildete Gleichung:

$\begin{matrix} a^2&+&b^2&=&c^2&\\ 3^2&+&4^2&=&c^2&\\ 9&+&16&=&c^2&\\ & &25&=&c^2& | \sqrt{}\\ & & 5&=&c& \end{matrix}$

Rechenbeispiel: Kathete gesucht
Seite a (Kathete): gesucht
Seite b (Kathete): 4 cm
Seite c (Hypotenuse): 5 cm

Wir setzen die bekannten Größen in die Formel ein und lösen die dadurch gebildete Gleichung:

$\begin{matrix} a^2&+&b^2&=&5^2&&\\ a^2&+&4^2&=&5^2&&\\ a^2&+&16&=&25& | &-16\\ a^2& & &=&9& | &\sqrt{}\\ a& & &=&3&& \end{matrix}$

Bisher sind wir davon ausgegangen, dass a und b die Katheten sind und c die Hypotenuse ist.

Das muss nicht immer so sein!

Klammern Sie sich also nicht so sehr an die Buchstaben a, b und c, sondern machen Sie sich klar, welche Seiten die Katheten sind und welche Seite die Hypotenuse ist.

Anwendungsbeispiel
Wir betrachten den folgenden Kegel:



Bekannt sind uns die Schräge (s = 50cm) und der Radius (r = 30cm). Die Höhe (h = ?) ist uns nicht bekannt.

Unsere Aufgabe ist es, das Volumen des Kegels zu berechnen.
Dazu benötigen wir aber die Höhe.

Da Höhe, Radius und Schräge des Kegels ein rechtwinkliges Dreieck bilden, können wir die Höhe mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnen.
Bezogen auf unseren Kegel lautet der Satz des Pythagoras:
$$r^2+h^2=s^2$$
Wir setzen ein und rechnen:
$\begin{matrix} 30^2 &+& h^2 & = & 50^2&& &|&-30^2\\ &&h^2 &=& 50^2 &-& 30^2& & \\ &&h^2 &=& 2500 &-&900& & \\ &&h^2 &=& 1600 &&&|& \sqrt{~}\\ &&h&=&40& & \\ \end{matrix}$

Der Kegel ist also 40cm hoch.
Damit können wir das Volumen berechnen:
$\begin{matrix} V&=&\frac{1}{3}&\cdot& r^2&\cdot&\pi&\cdot& h&|r=30, h=40\\ V&=&\frac{1}{3}&\cdot& 30^2&\cdot&\pi&\cdot& 40&\\ V &\approx& 37699,1&&&&&&&\\ \end{matrix}$

Der Kegel hat ein Volumen von rund 37699,1cm³, also etwa 38 Liter.