16. Potenzen und Wurzeln - Rechenregeln

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Inhalt

Worum es geht
Null als Exponent, negativer Exponent
Multiplikation und Division zweier Potenzen
Mehrfache Potenzen oder Wurzeln
Gebrochene Exponenten
Häufige Fehler
Aufgaben
Lösungen

  Worum es geht

Dieser Abschnitt beschäftigt sich den fünfzehn wichtigsten Rechenregeln, die für Potenzen und Wurzeln gelten.

Die grundlegenden Definitionen von Potenzen und Wurzeln finden Sie hier.

  Null als Exponent, negativer Exponent

Potenzen

Regel 1: $$a^0=1$$ Regel 2: $$a^{-n}=\frac{1}{a^n}~~~~~~~~~~~~\frac{1}{a^{-n}}=a^n$$

  Multiplikation und Division zweier Potenzen

Potenzen
Basis ist gleich, Exponent kann verschieden sein
Regel 3: $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$ Regel 4: $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$ Exponent ist gleich, Basis kann verschieden sein
Regel 5: $$a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$$ Regel 6: $$\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b} \right)^n$$ Wurzeln
Basis ist gleich, Exponent kann verschieden sein
Regel 7: $$\sqrt [m]{a} \cdot \sqrt [n]{a} = \sqrt [mn]{a^{n+m}}$$ Regel 8: $$\frac{\sqrt [m]{a}}{\sqrt [n]{a}} = \sqrt [mn]{a^{n-m}}$$ Exponent ist gleich, Basis kann verschieden sein
Regel 9: $$\sqrt [n]{a} \cdot \sqrt [n]{b} = \sqrt [n]{a \cdot b}$$ Regel 10: $$\frac{\sqrt [n]{a}}{\sqrt [n]{b}} = \sqrt [n]{\frac{a}{b}}$$

  Mehrfache Potenzen oder Wurzeln

Potenzen
Regel 11: $$(a^m)^n = a^{m~n} = (a^n)^m$$ Wurzeln
Regel 12: $$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[n~m]{a} = \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}$$

  Gebrochene Exponenten

Potenzen
Regel 13: $$a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$$ Wurzeln
Regel 14: $$\sqrt[\frac{1}{n}]{a} = a^n$$ Potenzen und Wurzeln gemischt
Regel 15: $$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^m$$

  Häufige Fehler

Regel 9 gilt nicht für Summen oder Differenzen

Beispiel 1: Wir möchten folgende Wurzel ziehen: $$\sqrt{16 + 9}$$
Korrekte Rechnung: $$\sqrt{16 + 9}=\sqrt{25}=5$$
Zu einem falschen Ergebnis führt dagegen: $$\sqrt{16 + 9}=\sqrt{16} + \sqrt{9}=4 + 3= 7$$
Beispiel 2: Wir möchten folgende Wurzel ziehen: $$\sqrt{25 - 16}$$
Korrekte Rechnung: $$\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$$
Zu einem falschen Ergebnis führt dagegen: $$\sqrt{25-16}=\sqrt{25} - \sqrt{16}=5-4= 1$$
In beiden Beispielen wurde Regel 9 auf Summen oder Differenzen angewendet. Sie gilt jedoch nur für Produkte!

Hierbei handelt es sich um einen der häufigsten Fehler bei Rechnungen im Zusammenhang mit dem Satz des Pythagoras.

  Aufgaben

Aufgabe 1

$${-7}^{0}=$$ $$10 ^ 0=$$ $$12345678876 ~^ 0=$$ Aufgabe 2

Lösen Sie die folgenden Rechnungen ohne Taschenrechner:
$$16^{0,5}=$$ $$144^{0,5}=$$ $$16^{0,75}=$$

  Lösungen

Aufgabe 1

$$-7 ^ 0 = 1$$ $$10 ^ 0 = 1$$ $$12345678876 ~^ 0 = 1$$ Aufgabe 2

$$16^{0,5}=16^{\frac{1}{2}}=\sqrt{16}=4$$ $$144^{0,5}=144^{\frac{1}{2}}=\sqrt{144}=12$$ $$16^{0,75}=16^{\frac{3}{4}}=\left(\sqrt[4]{16}\right)^3=2^3=8$$