15. Quadratische Funktionen, Parabeln

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Inhalt

Grundlagen
Besondere Punkte
Krümmungsverhalten
Schnittpunkt mit der y-Achse berechnen
Schnittpunkte mit der x-Achse berechnen
Scheitelpunkt berechnen
Von der Scheitelpunktform zur Normalform
Punktprobe
Aufgaben

  Grundlagen

Quadratische Funktionen
Quadratische Funktionen sind Funktionen des Typs:
$y=ax^2+bx+c$
Wobei in einer konkreten Funktion für $a, b, c$ Zahlen stehen.
Beispiel: $y=2x^2-3x+1$

Parabeln
Parabeln sind die Graphen quadratischer Funktionen im Koordinatensystem.
Beispiel: Die Funktion $y=2x^2-3x+1$ hat den Graphen:

Wir sehen, dass Parabeln keine Geraden, sondern gebogen sind. Um sie einigermaßen sauber zu zeichnen, müssen wir bei Parabeln deutlich mehr als zwei Punkte berechnen.

  Besondere Punkte

Schnittpunkt mit der y-Achse
Jede Parabel hat genau einen Schnittpunkt mit der y-Achse. In unserem Beispiel oben schneidet die Parabel die y-Achse bei 1.

Schnittpunkte mit der x-Achse
Beispiele:

Die Beispiele zeigen: Eine Parabel kann die x-Achse einmal (rot), zweimal (grün) oder auch gar nicht (blau) schneiden.

Scheitelpunkt
Beispiele:

Jede Parabel hat einen sogenannten Scheitelpunkt. Das ist die Stelle, an der die Parabel am stärksten gebogen ist.
Im obigen Beispiel liegt der Scheitelpunkt bei (3|2).

  Krümmungsverhalten

Wie eine Parabel gebogen ist, können wir unmittelbar aus der Gleichung ablesen, ohne dafür rechnen zu müssen.
Beispiele:

Die rote und die blaue Parabel sind nach oben gekrümmt, die grüne dagegen nach unten.
Die rote und die grüne Parabel sind stark gekrümmt, die blaue dagegen sanft.

Krümmungsregeln:
Legen wir die allgemeine Parabelgleichung $y=ax^2+bx+c$ zugrunde, so gilt:
$a>0$   Krümmung nach oben.
$a<0$    Krümmung nach unten.
$|a|>1$    Starke Krümmung.
$|a|<1$    Sanfte Krümmung.
$|a|=1$    "Normale" Krümmung.

Gleichungen unseres obigen Beispiels:
Rote Parabel:
$y=2x^2-12x+20$      $2>0$ und $|2|>1$   starke Krümmung nach oben.

Blaue Parabel:
$0,1x^2-0,6x +2,9$       $0,1>0$ und $|0,1|<1$  sanfte Krümmung nach oben.

Grüne Parabel:
$y=-2x^2+12x-16$      $-2<0$ und $|-2|>1$   starke Krümmung nach unten.

  Schnittpunkt mit der y-Achse berechnen

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, setzen wir für x eine Null ein und rechnen das entsprechende y aus.
Das funktioniert immer, da jede Parabel die y-Achse genau einmal schneidet.

Beispiel:
Wo schneidet die Parabel zur Funktionsgleichung $y=0,5x^2+2x+3$ die y-Achse?
$y=0,5x^2+2x+3~~~~~|~x=0$
$y=0,5 \cdot 0^2+2 \cdot 0+3$
$y=3$

Die y-Achse wird bei 3 geschnitten.

Bezogen auf die allgemeine Gleichung $y=ax^2+bx+c$ zeigt uns immer der Wert $c$ wo die y-Achse geschnitten wird.

  Schnittpunkte mit der x-Achse berechnen

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse zu berechnen, setzen wir für y eine Null ein und rechnen, falls möglich, x aus.
Das führt zu einer Gleichung, die mit der pq-Formel bearbeitet werden kann.
Ist die Gleichung nicht lösbar, gibt es auch keine Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse.
Anmerkung: Die Schnittpunkte mit der x-Achse heißen auch Nullstellen.

Beispiele:

Die Zeichnung zeigt uns:
Die rote Parabel schneidet die x-Achse überhaupt nicht.
Die blaue Parabel schneidet die x-Achse einmal bei 0,5.
Die grüne Parabel schneidet die x-Achse zweimal bei -1 und 2.

Wenn uns keine Zeichnung zur Verfügung steht, berechnen wir die Schnittpunkte wie oben beschrieben.

Rote Parabel:

Die Gleichung lautet: $y=2x^2+2x+1$.

$y=2x^2+2x+1~~~~|y=0$
$0=2x^2+2x+1~~~~|:2$
$0=x^2+1x+0,5~~|pq$
$x_{1;2}=- \frac{1}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{1}{2}\right)^2-0,5}$
$x_{1;2}=- 0,5 \pm \sqrt{\left( 0,5\right)^2-0,5}$
$x_{1;2}=- 0,5 \pm \sqrt{0,25-0,5}$
$x_{1;2}=- 0,5 \pm \sqrt{-0,25}$
Keine reelle Lösung, die rote Parabel hat also auch rechnerisch keine Schnittpunkte mit der x-Achse.

Blaue Parabel:

Die Gleichung lautet: $y=x^2-x+0,25$.

$y=x^2-x+0,25~~~~|~y=0$
$0=x^2-x+0,25~~~~|~pq$
$x_{1;2}=- \frac{-1}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{-1}{2}\right)^2-0,25}$
$x_{1;2}=0,5 \pm \sqrt{\left( -0,5\right)^2-0,25}$
$x_{1;2}=0,5 \pm \sqrt{0,25-0,25}$
$x_{1;2}=0,5 \pm \sqrt{0}$
$x_{1;2}=0,5 \pm 0$
$x_{1;2}=0,5 $ Eine Lösung, die blaue Parabel hat einen Schnittpunkt mit der x-Achse bei 0,5.

Grüne Parabel:

Die Gleichung lautet: $y=-x^2+x+2$.

$y=-x^2+x+2~~~~|y=0$
$0=-x^2+x+2~~~~|:(-1)$
$0=x^2-x-2~~~~~~~|pq$
$x_{1;2}=- \frac{-1}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{-1}{2}\right)^2-(-2)}$
$x_{1;2}=0,5 \pm \sqrt{\left(-0,5\right)^2+2}$
$x_{1;2}=0,5 \pm \sqrt{0,25+2}$
$x_{1;2}=0,5 \pm \sqrt{2,25}$
$x_{1;2}=0,5 \pm 1,5$
$x_{1}=0,5 + 1,5$
$x_{1}=2$
$x_{2}=0,5 - 1,5$
$x_{2}=-1$
Zwei Lösungen, die grüne Parabel hat zwei Schnittpunkte mit der x-Achse bei -1 und 2.

Beachten Sie, dass unsere Berechnungen mit der Zeichnung übereinstimmen.

  Scheitelpunkt berechnen

Um den Scheitelpunkt zu berechnen, formen wir die Parabelgleichung von der Normalform:
$$y=ax^2+bx+c$$ in die Scheitelpunktform:
$$y=a(x-x_s)^2+y_s$$ um. Der Scheitelpunkt liegt dann bei $(x_s|y_s)$.
Achtung: Bei der x-Koordinaten wird das Vorzeichen gedreht, bei der y-Koordinaten dagegen nicht!

Beispiel:
Wo ist der Scheitelpunkt der Parabel mit der Funktionsgleichung $y=2x^2-16x+35$?

Die Zeichnung sagt uns, dass der Scheitelpunkt bei (4|3) liegt.

Wir formen um:
$$y=2x^2-16x+35$$ Wir klammern aus den Elementen, die $x$ enthalten, den Faktor vor $x^2$ aus: $$y=2[x^2-8x]+35$$ Nun addieren wir in der Klammer das Quadrat der Hälfte des Faktors vor $x$ (Quadratische Ergänzung: $\left(\frac{-8}{2}\right)^2=16$) und damit dabei kein Fehler entsteht (wir dürfen ja nicht auf einer Gleichungsseite etwas addieren und auf der anderen nicht), ziehen wir den Wert direkt wieder ab:
$$y=2[x^2-8x+16-16]+35$$ Jetzt bilden die ersten drei Elemente in der Klammer einen binomischen Ausdruck, den wir entsprechend umformen:
$$y=2[(x-4)^2-16]+35$$ Wir lösen die eckige Klammer auf:
$$y=2(x-4)^2-32+35$$ Vereinfachen:
$$y=2(x-4)^2+3$$ Jetzt können wir die Koordinaten des Scheitelpunktes ablesen: (4|3). Nicht vergessen: Bei der x-Koordinaten wird das Vorzeichen gedreht, bei der y-Koordinaten dagegen nicht!

  Von der Scheitelpunktform zur Normalform

Wir können eine Gleichung auch von der Scheitelpunktform in die Normalform umwandeln, wie sich am obigen Beispiel zeigen läßt:
$$y=2(x-4)^2+3$$ Binomische Formel anwenden:
$$y=2(x^2-8x+16)+3$$ Klammer auflösen (Distributivgesetz):
$$y=2x^2-16x+32+3$$ Zusammenfassen:
$$y=2x^2-16x+35$$

  Punktprobe

Um zu prüfen, ob ein Punkt auf einer Parabel liegt, setzen wir seine Koordinaten in die Funktionsgleichung der Parabel ein.
Beispiel:

Die Zeichnung zeigt uns, dass der blaue Punkt auf der Parabel liegt, der grüne Punkt dagegen nicht.

Rechnerische Prüfung des blauen Punktes:
$y=~x^2-3x-1~~~~~~|~x=4~~y=3$
$3=^?4^2-3\cdot 4-1$
$3=^?16-12-1$
$3=3$
Der Punkt liegt auf der Parabel.

Rechnerische Prüfung des grünen Punktes:
$y=~x^2-3x-1~~~~~~|~x=5~~y=2$
$2=^?5^2-3\cdot 5-1$
$2=^?25-15-1$
$2 \not =9$
Der Punkt liegt nicht auf der Parabel.

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Punktprobe
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