15. Quadratische Funktionen, Parabeln

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Inhalt

Grundlagen
Besondere Punkte
Krümmungsverhalten
Schnittpunkt mit der y-Achse berechnen
Schnittpunkte mit der x-Achse berechnen
Scheitelpunkt berechnen
Von der Scheitelpunktform zur Normalform
Punktprobe
Schnittpunkt(e) einer Parabel mit einer Geraden
Schnittpunkt(e) zweier Parabeln
Aufgaben

  Grundlagen

Quadratische Funktionen
Quadratische Funktionen sind Funktionen des Typs:
$y=ax^2+bx+c$
Wobei in einer konkreten Funktion für $a, b, c$ Zahlen stehen.
Beispiel: $y=2x^2-3x+1$

Parabeln
Parabeln sind die Graphen quadratischer Funktionen im Koordinatensystem.
Beispiel: Die Funktion $y=2x^2-3x+1$ hat den Graphen:

Wir sehen, dass Parabeln keine Geraden, sondern gebogen sind. Um sie einigermaßen sauber zu zeichnen, müssen wir bei Parabeln deutlich mehr als zwei Punkte berechnen.

  Besondere Punkte

Schnittpunkt mit der y-Achse
Jede Parabel hat genau einen Schnittpunkt mit der y-Achse. In unserem Beispiel oben schneidet die Parabel die y-Achse bei 1.

Schnittpunkte mit der x-Achse
Beispiele:

Die Beispiele zeigen: Eine Parabel kann die x-Achse einmal (rot), zweimal (grün) oder auch gar nicht (blau) schneiden.

Scheitelpunkt
Beispiele:

Jede Parabel hat einen sogenannten Scheitelpunkt. Das ist die Stelle, an der die Parabel am stärksten gebogen ist.
Im obigen Beispiel liegt der Scheitelpunkt bei (3|2).

  Krümmungsverhalten

Wie eine Parabel gebogen ist, können wir unmittelbar aus der Gleichung ablesen, ohne dafür rechnen zu müssen.
Beispiele:

Die rote und die blaue Parabel sind nach oben gekrümmt, die grüne dagegen nach unten.
Die rote und die grüne Parabel sind stark gekrümmt, die blaue dagegen sanft.

Krümmungsregeln:
Legen wir die allgemeine Parabelgleichung $y=ax^2+bx+c$ zugrunde, so gilt:
$a>0$   Krümmung nach oben.
$a<0$    Krümmung nach unten.
$|a|>1$    Starke Krümmung.
$|a|<1$    Sanfte Krümmung.
$|a|=1$    "Normale" Krümmung.

Gleichungen unseres obigen Beispiels:
Rote Parabel:
$y=2x^2-12x+20$      $2>0$ und $|2|>1$   starke Krümmung nach oben.

Blaue Parabel:
$0,1x^2-0,6x +2,9$       $0,1>0$ und $|0,1|<1$  sanfte Krümmung nach oben.

Grüne Parabel:
$y=-2x^2+12x-16$      $-2<0$ und $|-2|>1$   starke Krümmung nach unten.

  Schnittpunkt mit der y-Achse berechnen

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, setzen wir für x eine Null ein und rechnen das entsprechende y aus.
Das funktioniert immer, da jede Parabel die y-Achse genau einmal schneidet.

Beispiel:
Wo schneidet die Parabel zur Funktionsgleichung $y=0,5x^2+2x+3$ die y-Achse?
$y=0,5x^2+2x+3~~~~~|~x=0$
$y=0,5 \cdot 0^2+2 \cdot 0+3$
$y=3$

Die y-Achse wird bei 3 geschnitten.

Bezogen auf die allgemeine Gleichung $y=ax^2+bx+c$ zeigt uns immer der Wert $c$ wo die y-Achse geschnitten wird.

  Schnittpunkte mit der x-Achse berechnen

Um die Schnittpunkte mit der x-Achse zu berechnen, setzen wir für y eine Null ein und rechnen, falls möglich, x aus.
Das führt zu einer Gleichung, die mit der pq-Formel bearbeitet werden kann.
Ist die Gleichung nicht lösbar, gibt es auch keine Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse.
Anmerkung: Die Schnittpunkte mit der x-Achse heißen auch Nullstellen.

Beispiele:

Die Zeichnung zeigt uns:
Die rote Parabel schneidet die x-Achse überhaupt nicht.
Die blaue Parabel schneidet die x-Achse einmal bei 0,5.
Die grüne Parabel schneidet die x-Achse zweimal bei -1 und 2.

Wenn uns keine Zeichnung zur Verfügung steht, berechnen wir die Schnittpunkte wie oben beschrieben.

Rote Parabel:

Die Gleichung lautet: $y=2x^2+2x+1$.

$y=2x^2+2x+1~~~~|y=0$
$0=2x^2+2x+1~~~~|:2$
$0=x^2+1x+0,5~~|pq$
$x_{1;2}=- \frac{1}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{1}{2}\right)^2-0,5}$
$x_{1;2}=- 0,5 \pm \sqrt{\left( 0,5\right)^2-0,5}$
$x_{1;2}=- 0,5 \pm \sqrt{0,25-0,5}$
$x_{1;2}=- 0,5 \pm \sqrt{-0,25}$
Keine reelle Lösung, die rote Parabel hat also auch rechnerisch keine Schnittpunkte mit der x-Achse.

Blaue Parabel:

Die Gleichung lautet: $y=x^2-x+0,25$.

$y=x^2-x+0,25~~~~|~y=0$
$0=x^2-x+0,25~~~~|~pq$
$x_{1;2}=- \frac{-1}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{-1}{2}\right)^2-0,25}$
$x_{1;2}=0,5 \pm \sqrt{\left( -0,5\right)^2-0,25}$
$x_{1;2}=0,5 \pm \sqrt{0,25-0,25}$
$x_{1;2}=0,5 \pm \sqrt{0}$
$x_{1;2}=0,5 \pm 0$
$x_{1;2}=0,5 $ Eine Lösung, die blaue Parabel hat einen Schnittpunkt mit der x-Achse bei 0,5.

Grüne Parabel:

Die Gleichung lautet: $y=-x^2+x+2$.

$y=-x^2+x+2~~~~|y=0$
$0=-x^2+x+2~~~~|:(-1)$
$0=x^2-x-2~~~~~~~|pq$
$x_{1;2}=- \frac{-1}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{-1}{2}\right)^2-(-2)}$
$x_{1;2}=0,5 \pm \sqrt{\left(-0,5\right)^2+2}$
$x_{1;2}=0,5 \pm \sqrt{0,25+2}$
$x_{1;2}=0,5 \pm \sqrt{2,25}$
$x_{1;2}=0,5 \pm 1,5$
$x_{1}=0,5 + 1,5$
$x_{1}=2$
$x_{2}=0,5 - 1,5$
$x_{2}=-1$
Zwei Lösungen, die grüne Parabel hat zwei Schnittpunkte mit der x-Achse bei -1 und 2.

Beachten Sie, dass unsere Berechnungen mit der Zeichnung übereinstimmen.

  Scheitelpunkt berechnen

Um den Scheitelpunkt zu berechnen, formen wir die Parabelgleichung von der Normalform:
$$y=ax^2+bx+c$$ in die Scheitelpunktform:
$$y=a(x-x_s)^2+y_s$$ um. Der Scheitelpunkt liegt dann bei $(x_s|y_s)$.
Achtung: Bei der x-Koordinaten wird das Vorzeichen gedreht, bei der y-Koordinaten dagegen nicht!

Beispiel:
Wo ist der Scheitelpunkt der Parabel mit der Funktionsgleichung $y=2x^2-16x+35$?

Die Zeichnung sagt uns, dass der Scheitelpunkt bei (4|3) liegt.

Wir formen um:
$$y=2x^2-16x+35$$ Wir klammern aus den Elementen, die $x$ enthalten, den Faktor vor $x^2$ aus: $$y=2[x^2-8x]+35$$ Nun addieren wir in der Klammer das Quadrat der Hälfte des Faktors vor $x$ (Quadratische Ergänzung: $\left(\frac{-8}{2}\right)^2=16$) und damit dabei kein Fehler entsteht (wir dürfen ja nicht auf einer Gleichungsseite etwas addieren und auf der anderen nicht), ziehen wir den Wert direkt wieder ab:
$$y=2[x^2-8x+16-16]+35$$ Jetzt bilden die ersten drei Elemente in der Klammer einen binomischen Ausdruck, den wir entsprechend umformen:
$$y=2[(x-4)^2-16]+35$$ Wir lösen die eckige Klammer auf:
$$y=2(x-4)^2-32+35$$ Vereinfachen:
$$y=2(x-4)^2+3$$ Jetzt können wir die Koordinaten des Scheitelpunktes ablesen: (4|3). Nicht vergessen: Bei der x-Koordinaten wird das Vorzeichen gedreht, bei der y-Koordinaten dagegen nicht!

  Von der Scheitelpunktform zur Normalform

Wir können eine Gleichung auch von der Scheitelpunktform in die Normalform umwandeln, wie sich am obigen Beispiel zeigen läßt:
$$y=2(x-4)^2+3$$ Binomische Formel anwenden:
$$y=2(x^2-8x+16)+3$$ Klammer auflösen (Distributivgesetz):
$$y=2x^2-16x+32+3$$ Zusammenfassen:
$$y=2x^2-16x+35$$

  Punktprobe

Um zu prüfen, ob ein Punkt auf einer Parabel liegt, setzen wir seine Koordinaten in die Funktionsgleichung der Parabel ein.
Beispiel:

Die Zeichnung zeigt uns, dass der blaue Punkt auf der Parabel liegt, der grüne Punkt dagegen nicht.

Rechnerische Prüfung des blauen Punktes:
$y=~x^2-3x-1~~~~~~|~x=4~~y=3$
$3=^?4^2-3\cdot 4-1$
$3=^?16-12-1$
$3=3$
Der Punkt liegt auf der Parabel.

Rechnerische Prüfung des grünen Punktes:
$y=~x^2-3x-1~~~~~~|~x=5~~y=2$
$2=^?5^2-3\cdot 5-1$
$2=^?25-15-1$
$2 \not =9$
Der Punkt liegt nicht auf der Parabel.

  Schnittpunkt(e) einer Parabel mit einer Geraden


Die Grafik zeigt eine Parabel (schwarz) und drei Geraden (rot, grün und blau).

Die rote Gerade läuft an der Parabel vorbei: Es gibt gibt keinen Schnittpunkt.
Die blaue Gerade berührt die Parabel knapp: Es gibt gibt einen Schnittpunkt.
Die grüne Gerade schneidet die Parabel zwei mal: Es gibt zwei Schnittpunkte.

Zum Berechnen der Schnittpunkte setzen wir die Gleichungen der Parabel und der Geraden gleich.

Beispiel grüne Gerade:
Gerade: $y = x-1$
Parabel: $y = x^2-4x+3$
$ \begin{array}{rrcrrrcr} x&-1&=&x^2&-4x&+3&|&-x\\ ~&-1&=&x^2&-5x&+3&|&+1\\ ~&0&=&x^2&-5x&+4&|&pq\\ \end{array} $
$ \begin{array}{rcl} x_{1;2} & = & - \frac{-5}{2}\pm \sqrt {\left( \frac{-5}{2} \right )^2 - (4)}\\ x_{1;2} & = &2,5\pm \sqrt {6,25-4}\\ x_{1;2} & = &2,5\pm \sqrt {2,25}\\ x_{1;2} & = &2,5\pm 1,5\\ x_{1} & = &4\\ x_{2} & =&1\\ \end{array} $
Nun kennen wir die x-Koordinaten und berechnen die y-Koordinaten, indem wir den Wert für x in eine der beiden Gleichungen einsetzen. Wir entscheiden uns für die Geradengleichung. Die Parabelgleichung würde zum gleichen Ergebnis führen, allerdings wäre der Rechenaufwand beträchtlich höher.
$ \begin{array}{rcr} y&=&4 -1\\ y&=&3\\ ~&~&~\\ y&=&1 -1\\ y&=&0\ \end{array} $

Wir erhalten somit die Schnittpunkte (4|3) und (1|0), was mit der Zeichnung übereinstimmt.

Beispiel blaue Gerade:
Gerade: $y = 2x-6$
Parabel: $y = x^2-4x+3$
$ \begin{array}{rrcrrrcr} 2x&-6&=&x^2&-4x&+3&|&-2x\\ ~&-6&=&x^2&-6x&+3&|&+6\\ ~&0&=&x^2&-6x&+9&|&pq\\ \end{array} $

$ \begin{array}{rcl} x_{1;2} & = & - \frac{-6}{2}\pm \sqrt {\left( \frac{-6}{2} \right )^2 - (9)}\\ x_{1;2} & = &3\pm \sqrt {9-9}\\ x_{1;2} & = &3\pm \sqrt {0}\\ x_{1;2} & = &3\pm 0\\ x_{1} & = &3\\ x_{2} & =&3\\ \end{array} $

Nun noch die y-Koordinate berechnen:
$ \begin{array}{rcr} y&=&2 \cdot 3 -6\\ y&=&0\\ \end{array} $

Wir erhalten somit einen Schnittpunkt (3|0), auch das entspricht der Zeichnung.

Beispiel rote Gerade:
Gerade: $y = x-6$
Parabel: $y = x^2-4x+3$
$ \begin{array}{rrcrrrcr} x&-6&=&x^2&-4x&+3&|&-x\\ ~&-6&=&x^2&-5x&+3&|&+6\\ ~&0&=&x^2&-5x&+9&|&pq\\ \end{array} $

$ \begin{array}{rcl} x^2-5x+9&=& 0\\ x_{1;2} & = & - \frac{-5}{2}\pm \sqrt {\left( \frac{-5}{2} \right )^2 - (9)}\\ x_{1;2} & = &2,5\pm \sqrt {6,25-9}\\ x_{1;2} & = &2,5\pm \sqrt {-2,75}\\ x_{1;2} & = &2,5\pm \text{keine reelle Lösung} \\ x_{1} & = & \text{keine reelle Lösung}\\ x_{2} & = & \text{keine reelle Lösung}\\ \end{array} $

Die Berechnung der y-Koordinaten erübrigt sich. Es gibt keine Schnittpunkte. Auch das deckt sich mit der Zeichnung.

  Schnittpunkt(e) zweier Parabeln

Wie bei Geraden und Parabeln, können zwei Parabeln:

   zwei Schnittpunkte haben
   genau einen Schnittpunkt haben
   ohne Schnittpunkt aneinander vorbeilaufen

Die Berechnung erfolgt wie bei Gerade und Parabel durch Gleichsetzung.

Beispiel: Zwei Schnittpunkte



Schwarze Parabel: $y = x^2-2x+2$
Rote Parabel: $y = 0,5x^2-x+3,5$

Gleichsetzen:
$ \begin{array}{rrrcrrrcr} x^2&-2x&+2&=&0,5x^2&-x&+3,5&|&-x^2\\ ~&-2x&+2&=&-0,5x^2&-x&+3,5&|&+2x\\ ~&~&+2&=&-0,5x^2&+x&+3,5&|&-2\\ ~&~&0&=&-0,5x^2&+x&+1,5&|&:(-0,5)\\ ~&~&0&=&x^2&-2x&-3&|&pq\\ \end{array} $

$ \begin{array}{rcl} x_{1;2} & = & - \frac{-2}{2}\pm \sqrt {\left( \frac{-2}{2} \right )^2 - (-3)}\\ x_{1;2} & = &1\pm \sqrt {1+3}\\ x_{1;2} & = &1\pm \sqrt {4}\\ x_{1;2} & = &1\pm 2\\ x_{1} & = &3\\ x_{2} & =&-1\\ \end{array} $

Berechnung der y-Koordinaten:
$ \begin{array}{rcr} y&=&(-1)^2-2 \cdot (-1)+2\\ y&=&1+2+2\\ y&=&5\\ ~&~&~\\ y&=&3^2-2 \cdot 3+2\\ y&=&9-6+2\\ y&=&5\\ \end{array} $

Wir haben zwei Schnittpunkte berechnet (-1|5) und (3|5) (Vergl. Zeichnung).

Beispiel: Ein Schnittpunkt



Schwarze Parabel: $y = x^2-2x+2$
Rote Parabel: $y = x^2-6x+10$

Gleichsetzen:
$ \begin{array}{rrrcrrrcr} x^2&-2x&+2&=&x^2&-6x&+10&|&-x^2\\ ~&-2x&+2&=&~&-6x&+10&|&+6x\\ ~&4x&+2&=&~&~&10&|&-2\\ ~&4x&~&=&~&~&8&|&:4\\ ~&x&~&=&~&~&2&~&~\\ \end{array} $

Einsetzen in eine der Gleichungen, um die y-Koordinate zu berechnen:
$y = 2^2-2 \cdot 2+2$
$y = 4-4+2$
$y=2$

Der Schnittpunkt liegt bei (2|2) (vergl. Zeichnung).

Anmerkung: Im obigen Beispiel lief die Berechnung nicht auf eine pq-Formel hinaus. Das kann, muss aber nicht sein. Im Falle, dass die Berechnung eine pq-Formel enthalten hätte, könnten wir auch zwei x-Werte (d.h. zwei Schnittpunkte) oder keine reelle Lösung (d.h. keine Schnittpunkte) erhalten können.

Beispiel: Kein Schnittpunkt



Schwarze Parabel: $y = x^2-2x+2$
Rote Parabel: $y = 0,5x^2-x+0,5$

Gleichsetzen:
$ \begin{array}{rrrcrrrcr} x^2&-2x&+2&=&0,5x^2&-x&+0,5&|&-x^2\\ ~&-2x&+2&=&-0,5x^2&-x&+0,5&|&+2x\\ ~&~x&+2&=&-0,5x^2&+x&+0,5&|&-2\\ ~&~x&0&=&-0,5x^2&+x&-1,5&|&:0,5\\ ~&~x&0&=&x^2&-2x&+3&|&pq\\ \end{array} $

$ \begin{array}{rcl} x_{1;2} & = & - \frac{-2}{2}\pm \sqrt {\left( \frac{-2}{2} \right )^2 - (3)}\\ x_{1;2} & = &1\pm \sqrt {1-3}\\ x_{1;2} & = &1\pm \sqrt {-2}\\ x_{1;2} & = &1\pm \text{keine reelle Lösung} \\ x_{1} & = & \text{keine reelle Lösung}\\ x_{2} & = & \text{keine reelle Lösung}\\ \end{array} $

Da es keine Schnittpunkte gibt (vergl. Zeichnung), brauchen wir keine y-Koordinaten zu berechnen.

  Aufgaben und alte Version

Scheitelpunkte und Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Punktprobe
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