13. Lineare Gleichungssysteme

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Inhalt

Gleichungen mit zwei Variablen
Gleichungssysteme
Das Einsetzungsverfahren
Das Additionsverfahren
Das Gleichsetzungsverfahren
Aufgaben

  Gleichungen mit zwei Variablen

Eine Gleichung mit zwei Variablen hat in der Regel unendlich viele Lösungen. Beispiel:

$x=2y$

Wir können für $y$ eine beliebige Zahl einsetzen und das dazu passende $x$ ausrechnen.

$x=2y~~~| y = 5$

$x=2 \cdot 5$

$x=10$

Oder wir setzen für $x$ eine beliebige Zahl ein und berechnen $y$.

$~~~x=2y~~~| x = 800$

$800=2y~~~|:2$

$400=y$

Auf diese Weise können wir unendlich viele Zahlenpaare erzeugen, die unsere Gleichung lösen.

Achtung! Dass es unendlich viele Zahlenpaare gibt, die als Lösung in Frage kommen, bedeutet noch lange nicht, dass jedes beliebige Zahlenpaar die Gleichung löst!

$x=5$ und $y=7$ löst die Gleichung beispielsweise nicht.

  Gleichungssysteme

Was sind Gleichungssysteme?
Ein Gleichungssystem entsteht, wenn wir mehrere Gleichungen zusammen betrachten.

So könnten wir ein System mit fünf Gleichungen und vier Variablen bilden. Oder wir bilden ein Gleichungssystem aus drei Gleichungen mit einer Variablen. Da gibt es viele Möglichkeiten.

Für den Realschulunterricht beschränken wir uns auf Systeme, die aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen bestehen.

Die Suche nach der Lösung
Die Suche nach der Lösung kann drei Ergebnisse haben:

1) Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung.
2) Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen.
3) Das Gleichungssystem hat keine Lösung.

Im folgenden werden wir zwei Lösungsverfahren kennenlernen:
Das Einsetzungsverfahren und das Additionsverfahren.

Beide Verfahren basieren darauf, aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen eine Gleichung mit einer Variablen zu machen. Diese Gleichung wird dann gelöst. Dadurch wissen wir den Wert einer Variablen. Diesen Wert setzen wir in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen ein und berechnen die andere Variable.

  Das Einsetzungsverfahren

Wie das Verfahren funktioniert
Schritt 1:
Wir lösen eine Gleichung nach einer Variablen auf. Dabei ist es unerheblich, welche Gleichung wir nach welcher Variablen auflösen.

Schritt 2:
Wir setzen das, was wir für die Variable herausbekommen haben, in die andere (Wichtig!) Gleichung ein und erhalten dadurch eine neue Gleichung mit nur noch einer Variablen.

Schritt 3:
Wir lösen die neu entstandene Gleichung.

Schritt 4:
Wir setzen das, was wir für die Variable herausbekommen haben, in eine der ursprünglichen Gleichungen ein (egal welche) und erhalten dadurch eine Gleichung mit nur noch einer (der anderen) Variablen.

Schritt 5:
Wir lösen die neu entstandene Gleichung und erhalten die andere Variable.

Beispiel 1:

$~I~~5x+10y=55$
$II~~2x+~3y=18$

Schritt 1:
$\begin{matrix} I & 5x &+ 10y & = & 55 & & | & -10y\\ I & 5x & & = & 55 & - 10y&| & :5\\ I & x & & = & 11 & - 2y&| &\\ \end{matrix}$

Schritt 2:
$II~~2(11-2y)+3y=18$

Schritt 3:
$\begin{matrix} II&2(11-2y)+3y&=&18& &\\ II&22-4y+3y&=&18& &\\ II&22-y&=&18&|&-22\\ II&-y&=&-4&|&:(-1)\\ II&y&=&4&|&:(-1)\\ \end{matrix}$

Schritt 4:
$II~~2x+~3 \cdot 4=18$

Schritt 5:
$\begin{matrix} II&2x + 3 \cdot 4&=&18& &\\ II&2x + 12&=&18&|&-12\\ II&2x&=&6&|&:2\\ II&x&=&3&&\\ \end{matrix}$

Das Gleichungssystem war mit $x=3$ und $y=4$ eindeutig lösbar.

Beispiel 2:

$~I~~6x+9y~=54$
$II~~2x+3y=18$

Schritt 1:
$~I~~6x+9y=54~~~~~~~~~~~~~|~-9y$
$~I~~6x~~~~~~~~~=54-9y~~~~|~: 6$
$~I~~~x~~~~~~~~~~~=9-~1,5 y$

Schritt 2:
$II~~2(9-1,5y)+3y=18$

Schritt 3:
$II~~2(9-1,5y)+3y=18$
$II~~18-3y+3y~~~~~~~=18$
$II~~18~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=18$

Da geht uns die zweite Variable verloren. Aber $18=18$ ist eine wahre Aussage!
Daraus schließen wir: Dieses Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen. Wir brauchen an dieser Stelle also nicht weiter zu rechnen.

Beispiel 3:

$~I~~6x+9y~=12$
$II~~2x+3y=18$

Schritt 1:
$~I~~6x+9y=12~~~~~~~~~~~~~|~-9y$
$~I~~6x~~~~~~~~~=12-9y~~~~|~: 6$
$~I~~~x~~~~~~~~~~~=2-~1,5 y$

Schritt 2:
$II~~2(2-1,5y)+3y=18$

Schritt 3:
$II~~2(2-1,5y)+3y=18$
$II~~~~4-3y+3y~~~~~~~=18$
$II~~~~4~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=18$

Auch hier geht uns die zweite Variable verloren. Aber $4=18$ ist natürlich Unsinn!
Daraus schließen wir: Dieses Gleichungssystem ist in sich widersprüchlich und somit unlösbar. Wir brauchen also nicht weiter zu rechnen.

  Das Additionsverfahren

Wie das Verfahren funktioniert
Schritt 1:
Wir multiplizieren gegebenenfalls beide Gleichungen mit geschickt gewählten Zahlen, sodass eine von beiden Variablen verschwindet, wenn wir beide Gleichungen addieren.

Schritt 2:
Nun addieren wir beide Gleichungen und erhalten dadurch eine neue Gleichung mit nur noch einer Variablen.

Schritt 3,4 und 5:
Diese Schritte sind mit dem Einsetzungsverfahren identisch.

Beispiel 1:

$~I~~5x+10y=55$
$II~~2x+~3y=18$

Schritt 1:
$~I~~5x+10y~~~~~~~~=55~~~~~|~\cdot 2$
$II~~2x+~3y~~~~~~~~=18~~~~~|~\cdot (-5)$
$~I~~~~~10x~~~+20y=110$
$II~~-10x-15y=-90$

Schritt 2 und 3:
$I+II~~5y=20~~~~|~: 5$
$I+II~~~y~=4$

Schritt 4:
$II~~2x+~3 \cdot 4=18$

Schritt 5:
$II~~2x+~3 \cdot 4=18$
$II~~2x+~~~~12=18~~~~~~~|~-12$
$II~~2x~~~~~~~~~~~~~=6~~~~~~~~~|~: 2$
$II~~~~~x~~~~~~~~~~~~=3$

Das Gleichungssystem war mit $x=3$ und $y=4$ eindeutig lösbar.

Beispiel 2:

$~I~~6x+9y~=54$
$II~~2x+3y=18$

Schritt 1:
$~I~~~~~~~6x~~+9y~~~~~~~~~=54~~~~~|~\cdot 2$
$II~~~~~~~2x+~3y~~~~~~~~~=18~~~~~|~\cdot (-6)$
$~I~~~~~~~~12x+18y~~~~~~~~=108$
$II~~-12x-18y~~~~~~~~=-108$

Schritt 2:
$I+II~~0=0$

Beide Variablen verschwinden bei der Addition gleichzeitig.
Wegen der wahren Aussage $0=0$ hat das Gleichungssystem unendliche viele Lösungen.

Beispiel 3:

$~I~~6x+9y~=12$
$II~~2x+3y=18$

Schritt 1:
$~I~~~~~~~6x~~+9y~~~~~~~~~=12~~~~~|~\cdot 2$
$II~~~~~~~2x+~3y~~~~~~~~~=18~~~~~|~\cdot (-6)$
$~I~~~~~~~~12x+18y~~~~~~~~=24$
$II~~-12x-18y~~~~~~~~=-108$

Schritt 2:
$I+II~~0=-84$

Beide Variablen verschwinden bei der Addition gleichzeitig.
Wegen der falschen Aussage $0=-84$ ist das Gleichungssystem unlösbar.

  Das Gleichsetzungsverfahren

Wie das Verfahren funktioniert
Schritt 1:
Wir lösen beide Gleichungen nach der gleichen Variablen auf.

Schritt 2:
Nun setzen wir die Gleichungen zu einer Gleichung, mit nur noch einer Variablen zusammen.

Schritt 3,4 und 5:
Diese Schritte sind mit dem Einsetzungsverfahren identisch.

Beispiel 1:

$~I~~5x+10y=55$
$II~~2x+~3y=18$

Schritt 1:
$~I~~5x+10y~~~~~~~~=55~~~~~|~-5x$
$II~~2x+~3y~~~~~~~~=18~~~~~|~-2x$

$~I~~~~~~~~~~10y~~~~~~~~=55-5x~|~: 10$
$II~~~~~~~~~~~3y~~~~~~~~=18-2x~|~: 3$

$~I~~~~~~~~~~~~~~y~~~~~~~~=5,5-0,5x$
$II~~~~~~~~~~~~~y~~~~~~~~=6-0,\overline 6x$

Schritt 2 und 3:
$5,5~~-0,5x = 6-0,\overline 6x~|~+0,\overline 6x $
$5,5+0,1 \overline 6x = 6~|~-5,5$
$~~~~~~~~~~0,1 \overline 6x = 0,5~|~: 0,1 \overline 6$
$~~~~~~~~~~~~~~~~~~x = 3$

Schritt 4:
$II~~2\cdot 3+~3y=18$

Schritt 5:
$II~~6+~3y=18$
$II~~6+~3y=18~~~~~~~|~-6$
$II~~~~~~~~~~3y=12~~~~~~~~~|~: 3$
$II~~~~~~~~~~~~y=4$

Das Gleichungssystem war mit $x=3$ und $y=4$ eindeutig lösbar.

Wegen des hohen Aufwandes, zwei Gleichungen nach der gleichen Variablen aufzulösen, lohnt sich dieses Verfahren nur, wenn die Gleichungen bereits in der Aufgabenstellung entsprechend aufgelöst vorliegen.

Beispiel:

$~I~~y = 2x - 2$
$II~~y = 3x - 1$

Hier können wir direkt gleichsetzen:

$~~~2x - 2 = 3x - 1~|~-3x$
$-1x - 2 = - 1~~~~~~~|~+2$
$-1x ~~~~~~ = 1~~~~~~~~~~|~: (-1)$
$~~~x ~~~~~~~~ = -1$

$~I~~y = 2 \cdot (-1)- 2$
$~~~~y = -4$

In diesen Fällen ist das Gleichsetzungsverfahren besonders einfach!