13. Lineare Gleichungssysteme - Aufgaben

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Gleichungssysteme im PDF-Format
Textaufgaben
Lösungen der Textaufgaben

PDF-Aufgaben

Eine Sammlung von 500 Gleichungssystemen, an denen Sie die oben gezeigten Verfahren üben können, finden Sie hier.

Textaufgaben

Aufgabe 1
Peter ist vier Jahre älter als seine Schwester Sandra. Zusammen sind sie 20 Jahre alt. Wie alt sind beide? Stellen Sie zur Lösung ein lineares Gleichungssystem auf. Lösung

Aufgabe 2
Die Summe zweier Zahlen ist 5.
Das doppelte der ersten Zahl plus das dreifache der zweiten Zahl ergibt 12.
Geben Sie beide Zahlen an. Stellen Sie zur Lösung ein lineares Gleichungssystem auf. Lösung

Aufgabe 3
Die Differenz zweier Zahlen ist 6. Ihre Summe ist 20.
Geben Sie beide Zahlen an. Stellen Sie zur Lösung ein lineares Gleichungssystem auf. Lösung

Aufgabe 4
Ein Parkplatz mit einer Fläche von 4000 m² hat einen Umfang von 260 m.
Geben Sie Länge und Breite des Parkplatzes an. Stellen Sie zur Lösung ein lineares Gleichungssystem auf. Lösung

Aufgabe 5
5 Tüten Süßigkeiten des Herstellers A und 7 Tüten des Herstellers B kosten zusammen 16,50€. Nehmen wir dagegen 7 Tüten von Hersteller A und 5 Tüten von Hersteller B kommen wir auf 15,90€. Stellen Sie zur Lösung ein lineares Gleichungssystem auf. Lösung

Lösungen der Textaufgaben

Aufgabe 1
Peter ist vier Jahre älter als seine Schwester Sandra. Zusammen sind sie 20 Jahre alt. Wie alt sind beide?

Peters Alter: x
Sandras Alter: y
Gleichungssystem:
$$\begin{matrix} I&x - y&=&4&~~&\\ II&x + y&=&20~~&\\~\\ I+II&2x~~&=&24&~|~&: 2\\ ~&x&=&12&~|~& einsetzen~in~I\\~\\ I&12 - y&=&4&~|~&-12\\ ~&-y&=&-8&~|~&: (-1)\\ ~&y&=&8&~~&\\ \end{matrix}$$ Sandra ist acht und Peter ist zwölf Jahre alt.

Aufgabe 2
Die Summe zweier Zahlen ist 5.
Das doppelte der ersten Zahl plus das dreifache der zweiten Zahl ergibt 12.
Geben Sie beide Zahlen an. Stellen Sie zur Lösung ein lineares Gleichungssystem auf.

Erste Zahl: x
Zweite Zahl: y
Gleichungssystem:
$$\begin{matrix} I&x + y&=&5&~|~\cdot 3&\\ II&2x + 3y&=&12&~|~&\cdot (-1)&\\~\\ I&3x + 3y&=&15&~&\\ II&-2x - 3y&=&-12~&\\~\\ I+II&x~~&=&3&~|~&einsetzen~in~I\\~\\ I&3 + y&=&5&~|~&-3\\ ~&y&=&2&~ \end{matrix}$$ Die erste Zahl ist 3 und die zweite Zahl ist 2.

Aufgabe 3
Die Differenz zweier Zahlen ist 6. Ihre Summe ist 20.
Geben Sie beide Zahlen an. Stellen Sie zur Lösung ein lineares Gleichungssystem auf.

Erste Zahl: x
Zweite Zahl: y
Gleichungssystem:
$$\begin{matrix} I&x - y&=&6&~~&\\ II&x + y&=&20~~&\\~\\ I+II&2x~~&=&26&~|~&: 2\\ ~&x&=&13&~|~& einsetzen~in~I\\~\\ I&13 - y&=&6&~|~&-13\\ ~&-y&=&-7&~|~&: (-1)\\ ~&y&=&7&~~&\\ \end{matrix}$$ Die erste Zahl ist 13 und die zweite ist 7.

Aufgabe 4
Ein Parkplatz mit einer Fläche von 4000 m² hat einen Umfang von 260 m.
Geben Sie Länge und Breite des Parkplatzes an. Stellen Sie zur Lösung ein lineares Gleichungssystem auf.

Länge des Parkplatzes: a
Breite des Parkplatzes: b

Gleichungssystem:

$$\begin{matrix} I&2a+2b&=&260&~|~&Umf.~Rechteck\\ II&a \cdot b&=&4000&~|~&Fläche~Rechteck\\~\\ I&2a+2b&=&260&~|~&-2b\\ I&2a&=&260-2b&~|~&:2\\ I&a&=&130-b&~|~&einsetzen~in~II\\~\\ II&(130-b) \cdot b&=&4000&~\\ ~&130b-b^2=&4000&~|~&-4000\\ ~&130b-b^2-4000=&0&~|~&umstellen\\ ~&-b^2+130b-4000=&0&~|~&:(-1)\\ ~&b^2-130b+4000=&0&~|~&pq\\ \end{matrix}$$ $$\begin{matrix} b_{1;2}&=&-\dfrac{-130}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-130}{2} \right)^2-4000}\\ b_{1;2}&=&65\pm\sqrt{\left(-65 \right)^2-4000}\\ b_{1;2}&=&65\pm\sqrt{4225-4000}\\ b_{1;2}&=&65\pm\sqrt{225}\\ b_{1;2}&=&65\pm 15\\ b_{1}&=&80\\ b_{2}&=&50\\ \end{matrix}$$ Der Parkplatz ist also 80m oder 60m breit. Wir berechnen die Länge, in dem wir beide Werte in die erste Gleichung einsetzen.

$$\begin{matrix} I&2a+2b&=&260&~|~&b=80\\ ~&2a+160&=&260&~|~&-160\\ ~&2a&=&100&~|~&:2\\ ~&a&=&50&~\\~\\ I&2a+2b&=&260&~|~&b=50\\ ~&2a+100&=&260&~|~&-100\\ ~&2a&=&160&~|~&:2\\ ~&a&=&80&~\\~\\ \end{matrix}$$ Der Parkplatz ist entweder 80m breit und 60m lang oder 60m breit und 80m lang.

Aufgabe 5
5 Tüten Süßigkeiten des Herstellers A und 7 Tüten des Herstellers B kosten zusammen 16,50€. Nehmen wir dagegen 7 Tüten von Hersteller A und 5 Tüten von Hersteller B kommen wir auf 15,90€. Stellen Sie zur Lösung ein lineares Gleichungssystem auf.

Preis für Hersteller A: x
Preis für Hersteller B: y

Gleichungssystem:

$$\begin{matrix} I&5x+7y&=&16,50&~|~&\cdot 5\\ II&7x+5y&=&15,90&~|~&\cdot (-7)\\~\\ I&25x+35y&=&82,50&~&\\ II&-49x-35y&=&-111,30&~&\\~\\ I+II&-24x&=&-28,8&~|~&: (-24)&\\ ~&x&=&1,2&~|~&einsetzen~in~I&\\~\\ I&5 \cdot 1,2+7y&=&16,50&~&\\ ~&6+7y&=&16,50&~|&-6\\ ~&7y&=&10,50&~|&: 7\\ ~&y&=&1,50&~&\\ \end{matrix}$$ Eine Tüte von Hersteller A kostet 1,20€ und eine Tüte von Hersteller B kostet 1,50€.