10. Einfache Gleichungen

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Inhalt

Was ist eine Gleichung?
Wahre Aussage, falsche Aussage
Umformungsregeln
Gleichungen lösen
Aufgaben

  Was ist eine Gleichung?

Eine Gleichung besteht aus einer linken Seite, einer rechten Seite und einem Gleichheitszeichen dazwischen. Beispiel:
$$5=5$$ Gleichungen enthalten meistens Variablen Beispiel:
$$x =5$$

  Wahre Aussage, falsche Aussage

Beispiel einer wahren Aussage:


     $3=3$




Beispiel einer falschen Aussage:



     $2=3$





  Umformungsregeln

Wird eine Gleichung nach den folgenden Regeln verändert, bleibt eine wahre Aussage eine wahre Aussage.

1. Regel: Vertauschen der Seiten

     $1+2=3$        oder        $3=1+2$    

2. Regel: Auf beiden Seiten den gleichen Wert addieren (subtrahieren)

     $3=3~|+2$        wird zu        $5=5$    

     $5=5~|-1$        wird zu        $4=4$    

3. Regel: Auf beiden Seiten den gleichen Wert multiplizieren (dividieren)

     $3=3~|\cdot 2$        wird zu        $6=6$    

     $6=6~|: 2$        wird zu        $3=3$    

  Gleichungen lösen

Wann ist eine Gleichung gelöst?
Eine Gleichung ist gelöst, wenn sie in der Form vorliegt wie in den folgenden Beispielen:

$x=5$
$7=x$

Die Gleichung ist gelöst, weil wir unmittelbar ablesen können, welchen Wert für $x$ wir einsetzen müssen, um die Gleichung zu einer wahren Aussage zu machen.

Eine Gleichung ist ungelöst, wenn wir nicht auf Anhieb sehen, was wir für $x$ einsetzen müssen. Beispiel:

$3x + 4 = 25$

Lösungsweg
Eine Gleichung wird gelöst, indem wir sie nach den oben genannten Regeln in eine gelöste Form umwandeln.
Dazu müssen wir das $x$ auf einer Gleichungsseite isolieren.

$ \begin{matrix} 3x & + & 4 & = & 25 & | & -4 \\ 3x & & & = & 21 & | & :3 \\ x & & & = & 7 & \\ \end{matrix} $


Dabei ist es klug, zuerst die $4$ abzuziehen und dann durch $3$ zu teilen. Wenn wir umgekehrt rechnen, müssen wir das Distributivgesetz beachten und sicher beherrschen.

$ \begin{matrix} 3x & + & 4 & = & 25 & | & :3 \\ x & + & \frac{4}{3} & = & \frac{25}{3} & | & - \frac{4}{3} \\ x & & & = & \frac{21}{3}& \\ x & & & = & 7& \\ \end{matrix} $

Probe
Zur Probe setzen wir die Zahl für $x$ in die ursprüngliche Gleichung ein. Wenn dadurch eine wahre Aussage entsteht, haben wir richtig gerechnet.

$ \begin{matrix} 3x & + & 4 & = & 25 & | & x = 7 \\ 3 \cdot 7 & + & 4 & =^? & 25 & \\ 21 & + & 4 & =^? & 25 & \\ 25 & & & = & 25 & \\ \end{matrix} $

x auf beiden Seiten der Gleichung
$ \begin{matrix} 7x & + & 4 & = & 4x & + 25 & |& -4x\\ 3x & + & 4 & = & & 25 & |& -4 \\ 3x & & & = & & 21 & |& :3\\ x & & & = & & 7 & & \\ \end{matrix} $

Probe
$ \begin{matrix} 7x & + & 4 & = & 4x & + 25 & | x = 7\\ 7\cdot 7 & + & 4 & =^? & 4 \cdot 7 & + 25 & \\ 49 & + & 4 & =^? & 28 & + 25 & \\ 53 & & & = & & 53 & \\ \end{matrix} $